SUR ÏÏN ARTICLE DE M. CAYLEY

Nouvelles Annales de Mathématique

M. CajJey attribue à M. Casey l'élégaot théorème qui permet de construire la courbe de pénombre comme l'enveloppe d'une série de cercles; j'ignore dans quel Mémoire et à quelle époque M. Casey a énoncé cette propriété; je crois devoir toutefois rappeler que M, Moutard l'avait fait connaître dès 1863.

A cette époque, il avait énoncé la proposition suivante :

Toute anallagmatique du quatrième ordre (quariique bicîïculaire de M. Cayley) peut être considérée de quatre façons différentes comme l'enveloppe de cercles coupant orthogonalement un cercle fixe, tandis que leurs centres décrivent des coniques; les quatre coniques au moyen desquelles on peut engendrer ainsi la courbe sont homofocales (').

J'ai démontré 1res simplement, dans une Note insérée au Bulletin de la Société philomathique sur les courbes résultant de l'intersection d'une sphère et d'une surface du second degré (mars 1867), qiie la projection stéréographique d'une courbe de cette espèce pouvait être, comme l'indique la proposition de M. Moutard, regardée comme l'enveloppe de cercles.

Je reproduis ici cette démonstration.

Considérons une courbe K résultant de l'intersection d'ime sphère S, par une surface du second degré. On peut, par celle

(') Voir la Note : Sur les arcs des courbes planes et spkériques considérées comme enveloppes de cercles; par M, Mamnheim {Journal de Liouville, i86î) et ma Note intitulée : Tkéoi-èmes généraux sur les courbes planes (Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, i865).

Sun UN ARTICLE DE M. CAYLEÏ. l3-,

courbe, faire passci' quatre cônes. Soient (C) l'un de ces cônes, c son sommet.

Le cône (C) étant l'enveloppe des divers plans qui loi sont tangents, la courbe K est l'enveloppe des cercles suivant lesquels ces plans tangents coupent la sphère. Les plans de ces cercles passant par le point c, ces cercles eux-mêmes coupent à angles droits le cercle T suivant lequel la sphère est coupée par le plan polaire de c. Les pôles des plans de ces cercles décrivent une conique G, qui est la polaire du cône (C).

La courbe K peut donc être considérée comme l'enveloppe de cercles qui coupent orthogonalement le cercle F, les pôles des plans de ces cercles décrivant une conique G.

Faisons maintenant une projection stéréographique de la figure.

La courbe R se projette suivant une courbe k, qui est l'enveloppe des cercles h suivant lesquels se projettent les cercles de la sphère dont l'enveloppe est K.

Ces cercles A coupent orihogonalemenl le cercle y, projection de F; de plus, leurs centres décrivent la conique projection de G, en vei'tu du théorème bien connu de M. Chasies :

Si l'on projette un cercle stéréo graphiquement, le centre du cercle suii'ant lequelil se projette est la projection du pôle, par rapport à la sphère, du plan du cercle projeté.

La courbe K. étant située siir quatre cônes du second degré, la proposition de M. Moutard se déduit immédiatement de ce qui précède.

Pour les développements auxquels peut donner lieu cette question, je renverrai le lecteur à la Note que j'ai citée plus haut.