EXTRAIT D'UNE LETTRE A M. ROURGET

Nouvelles Annales de Mathématiques; 1870.

Pcrmeltez-moi d'ajouter aux beaux théorèmes de Sleiner et de M. Cremona, démontrés par M. Painvin, quelques propositions nouvelles, et fondamentales dans la théorie de l'iiypocycloïde; elles se déduisenl très facilement des théorèmes généraux que j'ai donnés dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences {Théorèmes généraux sur les courbes planes algébriques, janvier i865), et dans le Bulletin de la Société phllomathique (Sur la détermination du rayon de courbure des lignes planes, février 1867); j'en ai déduit, dn reste, les principales conséquences relatives à l'hjpocycloïde, dans le cours qtie j'ai professé cet hiver à la salle Gerson.

Les deux propositions fondamentales auxquelles donne lie» cette courbe sont les suivantes :

Théorème I. — Les trois tangentes que, par un même point, on peut mener à Vkypocycloïde font, avec une quelconque des tan^ntes de rebroussement, des angles dont la somme est unmultiple de -Tî,

Théouème II. — Si, par un point P, on mène trois tangentes à l'hypocycloïde, et si Von désigne par A, B, ('. les trois points de contact; si, sur le prolongement d'une quelconque de ces trois tangentes PÂ, on prend un point A' tel que PA' soit le double de PA, les quatre points P, A', B, G sont sur une même circonférence et partagent harmonique ment cette circonférence.

Voici quelques conséquences de ces propositions :

Soit une droite lonchant la courbe au point M, et la coupant

en P et R. Si l'on désigne par S l'incSinaison de cette droite sur une quelconque des tangentes de rebroussenienl, et par rn l'inclinaison, sur cette tangente, de la tangente en P, on aura, en vertu du théorème I,

en désignant de môme par p l'inclinaison sur cette tangente de la tangente ou point lï, on aura