h ip = multiple (le tc

on déduit de là

2(ra-p) = muhiple<IeT:.

D'où ['on Yoit que

ra-p=:o, ou bien = ~.

Deux tangentes à l'hypocycJoïde ne pouvant être parallèles, on a

Donc les tangentes aux points P ei R sont perpendiculaires entre elles.

Considérons maintenant les trois tangentes PA, PB et PC issnes d'un même point P, et supposons que deux d'entre elles, PB et PC, soient rectangulaires; si nous prolongeons AP d'une longueur double d'elle-même au delà du point P, l'extrémité A' du segment ainsi obtenu sera sur la circonférence passant par les points P, B, C, et sur cette circonférence sera le conjugué harmonique du point P; mais, d'après les propriétés bien connues de la division

harmonique sur un cercle, l'angle BPC étant droit, la ligne BC esi perpendiculaire sur PA', c'est-à-dire sur PA,

Donc, si deux des tangentes issues d'un point P sont rectangulaires, la corde des contacts de ces deux tangentes est perpendiculaire à la troisième tangente issue du même point.

Vos lecteurs trouveront peut-être quelque intérêt à rapprocher ces démonstrations géométriques des démonstrations analytiques données par M. Painvin.

On peut ajouter ici la proposition suivante, remarquable par sa simplicité et son élégance :

Si d'un point A de Vhypocycloïde, on mène à la courbe la tangente dont le point de contact ne coïncide pas avec À.; en désignant par T le point de contact de cette tangente, si l'on prolonge TA d'une longueur égale à elle-même, le point T', extrém,ité de ce prolongement, est le foyer de la parabole qui suroscule en A Vhypocycloïde.