COURBES GAUCHES DU QUATRIÈME ORDRE

Journal de Mathématiques pures et appliquées: 1670.

Étant données dans l'espace une surface du second ordre et deux droites fixes, M. Chasles a démontré que, si une droite mobile était assujettie à rencootrer les deux droites fixes en s'appuyant sur la surface, ia courbe de contact des droites mobiles était une courbe gauche du quatrième ordre, de l'espèce de celles par lesquelles on peut mener une infinité de surfaces du second ordre.

Inversement, étant donnée une courbe résultant de l'intersection de deux surfaces du second ordre, on peut se demander si elle peut toujours être engendrée par le procédé qui résulte de la proposition de M. Chasles, et, si elle peut l'être, comment l'on pourra déterminer une surface du second ordre et deux droites de façon à obtenir la génération de la courbe.

La Note qui suit a pour objet de résoudre cette question. Je montre que par la courbe donnée on peut toujours faire passer six surfaces qui permettent la génération indiquée par M. Chasles, et que, l'une des surfaces étant choisie, on peut encore choisir d'une infinité de façons les deux droites fixes.

La proposition suivante montrera comment on peut résoudre le problème que je m'étais proposé.

Par la courbe donnée passent quatre cônes dont les sommets forment un tétraèdre. Prenons arbitrairement deux arêtes opposées de ce tétraèdre et menons une droite quelconque qui, s'appuyant sur ces arêtes, rencontre la courbe en un point A : on sait alors qu'elle la rencontre en un autre point B.

Par la droite AB on peut mener quatre plans qui touchent la courbe; les quatre points de contact sont les sommets d'un tétraèdre; deux arêtes opposées de ce tétraèdre rencontrent les deux arêtes opposées du tétraèdre dont j'ai parlé plus haut et dont les sommets sont les sommets des quatre cônes. Soient CC et DD' ces deux arêtes ; C, C, D et IV étant les quatre points de contact avec la courbe.

Choisissons arbitrairement l'une de ces arêtes, CC par exemple ; les quatre droites AC, AC, BC et BC sont situées sur une même surface du second ordre S passant par la courbe donnée. Cela posé:

Si une droite mobile rencontre à chaque instant les droites AB et DD' en s'appuyant sur la surface S, elle la touchera précisément le long de la courbe donnée.

Les propositions sur lesquelles je me suis appuyé pour la solution de ce problème se rattachent étroitement, comme je m'en suis aperçu en rédigeant cette Note, aux théorèmes donnes par M. Hesse dans son beau Mémoire Sur les courbes du troisième ordre {Crelle, t. 48); théorèmes qui, du reste, si l'on veut remonter plus haut, se trouvent, quant au fond, dans une Note très courte Sur les focales publiée par M. Van Reiss dans le Tome V du Journal de Quetelet.

Les surfaces réglées du quatrième ordre qui se présentent dans cette Note sont en elles-mêmes très intéressantes, et je les avais déjà rencontrées en étudiant certains théorèmes de M. W. Roberts relatifs aux surfaces du second ordre que j'ai pu, parleur moyen, étendre aux surfaces du quatrième ordre ayant une conique double.

Du reste, M. de la Gournerie s'était déjà auparavant occupé, d'une façon toute spéciale, de ces surfaces réglées; je n'en parlerai donc ici qu'accidentellement, en me contentant de mentionner la déhnition très simple que l'on en peut donner en s'appuyant snr la théorie des fonctions elliptiques, et je renverrai le lecteur curieux de poursuivre cette recherche, à l'Ouvrage très complet que M. de la Gournerie a publié à ce sujet.

1. Dans tout ce qui suit, je désignerai sous le nom de biquadratique gauche, ou simplement sous le nom de biquadratique , l'intersection de deux surfaces du second ordre.

QUATRIËICB ORDRE, I^S

Bien que toutes les propositions sur lesquelles je m'appuierai puissent s'établir facilement par des considérations de pure Géométrie (elles "se déduisent immédiatement des relations très simples que M. Chaaies a données dans sa Géométrie supérieure, p. iS^, entre trois couples de points en involution et leurs points milieus), j'ai cru, pour abréger, pouvoir mo servir de la belle théorie fondée par M. Ciebsch.

En ce qui concerne les bjquadratiques gauches, la théorie de M. Clebsch peut s'établir d'une façon très simple et très facile; mais, quoique la démonstration de ses formules, dans ce cas spécial, puisse donner lieu à quelques remarques dignes d'intérêt, je me contenterai de renvoyer le lecteur aux divers Mémoires qu'il a publiés sur ce sujet ('), en exposant brièvement ceux des résultats qu'il a obtenus, sur lesquels je m'appuierai.

2. Soit tracée, sur une surface du second ordre S, une biqoadratique quelconque K. A cette courbe se rattache une intégrale elliptique (^); on peut concevoir que la valeur de la variable qui entre dans cette intégrale soit à chaque instant fixée par la position d'un point mobile sur la biquadratique, ou que le déplacement du point mobile de la courbe détermine la variation de la variable.

Étant pris, sur la courbe, un point arbitraire w, qui corresponde à la valeur de la variable prise pour limite inférieure de l'intégrale; si le point mobile, qui fixe à chaque instant la valeur de celte variable, se meut sur la courbe jusqu'à un point donné A, on obtiendra pour l'intégrale considérée une valeur parfaitement déterminée. Cette valeur, cependant, ne sera pas entièrement déterminée par la seule connaissance du point A; elle dépend, comme on le sait, du chemin que l'on a suivi pour se mouvoir,

(') Voir notamment le Mémoire Ueber die Aiiwendung der Abelscheii Fuiictioneii in der Géométrie ( Crelle, t. 63).

(') Quand la courbe est tracée sur une sphère, cette intégrale prend une forme géométrique trè9 simple; en désignant par M un point quelconque de cette courbe, par F, G, H, K ses quati-e foyers réels, elle s'exprime de la façon suivante

sur la courbe, du point w au point A; ei, d'après le cliemîn qu'on a suivi, la valeur de l'intégrate peut demeurer la même, ou être augmentée d'un multiple quelconque de l'une des deux périodes qui appartiennent à l'Intégrale elliptique considérée. Dans tout ce qui suit, je désignerai constamment ces deux périodes par 2/> et ^q, en posant, pour abréger, p -\~ q=: r, ir étant une autre période de l'intégrale dépendant des deux premières.

Lorsqu'on se donne la valeur de l'intégrale, prise à partir du point origine w, le point A qui correspond à la valeur extrême de la variable est complètement déterminé ; mais, lorsqu'on se donne au contraire ce point A, la valeur de l'intégrale n'est déterminée qu'à un multiple près de 2p et de 7.q.

Cela posé, la proposition fondamentale donné par M. Clebsch, sur laquelle je m'appuierai dans tout ce qui suit, peut s'énoncer

Si Von coupe la biquadratique K par un plan qui la rencontre aux points A, B, C et D, la somme des quatre intégrales dont les limites supérieures sont caractérisées par les points A, .13, G ei D est une quantité constante, quelle que soit la position du plan, ou, du moins, cette quantité ne peut varier que de multiples des deux périodes 2p et iq.

Pour exprimer ce genre de relation, on peut employer avec

avantage le signe de la congruence de Gauss, et écrire simplement

A + B-i-G + D = a (modî/i, j.q),

a désignant une quantité constante.

Comme jusqu'ici l'origine w a été prise arbitrairement, rien n'empêche de la choisir de telle sorte que la constante ci. soit nulle; en sorte que l'on aura simplement (i) A- + B-i-C-,-Dr^o.

Dans celte congi-uence, A ne représente pas le point A, mais l'intégrale qui s'étend depuis l'origine fixe jusqu'à ce point. Il n'y a d'ailleurs lieu de redouter aucune confusion dans ce double emploi d'une même lettre pour représenter un point et une intégrale, la présence du signe de la congruence suffisant pour fixer le sens que l'on doit j attacher.

3. La congruence (i) exprime la condilion nécessaire et siifflsanle pour que quatre points A, B,G, D de la biquadralique soient dans un même plan.

Soient A et B deux points donnés de cette courbe, il existe une surface du second ordre S, bien déterminée, qui passe par la courbe et qui a la droite AB pour génératrice. Si, par AB, on mène un plan quelconque rencontrant la courbe aux points X et Y, la droite XY iCSt, comme on le sait, l'une quelconque des génératrices du second système de cette surl'ace.

Or, d'après la relation (i), on a