X-hX'=o

joignons X' au point P et appelons Y le point où la droite PX' rencontre de nouveau la courbe. On a

Les deus points ainsi obtenus X et Y satisfont à la relation X — Y^p ou bien T — X =^,

Je dirai que ces deux points sont deux points conjugués de lii biquadratique, relativement an mode de groupement défini par les arêtes OP et QR, ou bien par ia demi-période p.

La droite XY qui joint deux points conjugués rcncontie évidemment Farête OP; on peut voir aussi facilement qu'elle rencontre l'arête opposée RQ. Joignons en effet X au sommet R, el soit X" le point où cette droite coupe K; menons la droite X"Q, et soit Y" le point de rencontre de cette droile avec K. L'on a évidemment

X + X''e=,-, XM-Y'sîç d'où r'~'K = q^r=.p.

Le point Y", ainsi déterminé, se confond avec le point Y; ce qui démontre la proposition énoncée.

Ainsi, la droile joignant deux points conjugués quelconques'appuie sur les deux arêtes opposées du tétraèdre qui définisseni le mode de groupement; réciproquement, toute droite s'appuyani sur ces deux arêtes, et rencontrant la courbe, la rencontre en deu\ points conjugués.

Si nous considérons une surface quelconque du second ordre .S passant par K, les deux arêtes OP et QR sont des droites polaires réciproques, relativement à cette surface; l'une de ces droites l<i coupe donc en deux points réels ra etro'. Deux points conjugu('s quelconques et les points ra et ra' sont dans un même plan qui coupe la surface suivant une conique divisée harmoniquement pur les quatre points considérés.

6. Si l'on détermine tous les couples de points conjugués qui correspondent au mode de groupement caractérisé par les deux arêtes 01* et QR, ou par la demi-période /), les droites joignant ces différents points forment une snrface réglée ayant pour droites doubles les arêtes OP et QR; cette surface est évidemment du quatrième ordre; je la désignerai par la notation Tp.

Si l'on appelle Y et X les points où une g-énératrice quelconque de cette snrface s'appuie sur la courbe, l'on a

Il y a lieu de considérer deux autres s^urfaces de même espèce

caraclérisées parles demi-périodes q et /■; je les désignerai parTg etT^.

7. A ei B étant deux points quelconques de K, par la corde AB on peut mener quatre plans tangents à la courbe; les quatre points de contact sont les sommets d^un tétraèdre. Deux arêtes opposées quelconques de ce tétraèdre rencontrent deux arêtes opposées du tétraèdre OPQR.

Appelons X l'nn (juelconquc des points de conLacl des plans Ungeots cherchés, on a la relation

A + E-H2X = o; d'où l'on déduit pour X les ciiiatre valeurs suivantes;

jr.-(^), x-.-(^8)-.,.

Considérons deux quelconques des arêtes opposées du tétraèdre XX'X"X"', par exemple les arêtes X'X'' et X^'X"; l'on a X° — X'^/j et X'" — X"'^/!,

puisque r = /> + 9-

La proposition est donc démontrée; les deux arêtes X'X" et X"'X" sont deux génératrices de la surface T^.

8. Supposons maintenant que la corde AB soit elfe-môme une génératrice de T^, en sorte que l'on ait (p) A-B^/.;

désignons toujours par X', X", X"' et X" les quatre points de contact des plans que l'on peut mener par cette corde tangentiellement à la courbe. Des quatre arêtes du tétraèdre X'X"X"'X", deux sont aussi des génératrices de T^; ce sont les droites X'X" et X"'X".

Choisissons arbitrairement une de ces droites, X'X" par exemple; il est facile de voir que les quatre droites AX', AX", BX', BX" sont des génératrices d'une même surface du second

OUATRIi':me ordue. i^g

ordre passanl par K. Les congruences (a), qui déterminent X', X", X"' cl X", donnent, en effet, si l'on tient compte de la relation (^),

A -(- X'^ B -1- X"~ ^ et A-hX-^B-i-X'^—^.

Cette surfaee du second ordre est caractérisée par la eonslaute dr — ; on voit qu'elle est la même, quelle que soit la génératrice AB de la surface Ty, que l'on ait choisie. Je la désignerai dans ce qui suit par la lettre Sp.

Relativemenl à cette surfaee S^, je dirai que les droites AB etX'X" sont deux génératrices associées de la surface T^,

Puisque les droites ÂX', AX", BX' et BX" sont des génératrices de Hp, l'on voit que deux génératrices associées sont des droites polaires réciproques l'une de l'autre par rapport à Sp.

Si nous avions fait correspondre la droite X"'X"' à la corde AB, nous aurions démontré de même que les droites AX'", AS", BX'" et BX" étaient les génératrices d'une même surfaee du second ordre passant par ia courbe K et caractérisées par la constante

Je désignerai cette deuxième surface par la notation Sp-.

Les droites telles que AB et X"'X''' seront dites des génératrices associées de Tp relativement à la surface S^'.

La considération des surfaces T^ et T^ conduirait de même à la considération de quatre antres surfaces du second ordre S^, S^-;

Sr et Sr:

La propriété que j'ai signalée des six surfaces Sp, Sp»; S^, S^^; Sr, Sr', à savoir : qu'à chacune d'elles correspond une surface réglée du quatrième ordre dont chaque génératrice s'appuie en deux points de K et qui est à elle-même sa transformée par polaires réciproques, lorsque l'on prend pour base la surface considérée, est caractéristique de ces surfaces.

Etant donnée une droite s'appuyant en deux points sur K et telle que sa polaire, par rajiport à une surface de second degré passant par cette courbe, s'appuie aussi en deux points sur cette courbe, on démontrera facilement que cette droite est une gêné-

ratrice de l'une des tro

.is surfaces Tp, T, et T,.,

et que la surfat

du second degré est ii

ne des sis surfaces qne j'j

li mentionnées

qui correspondent deu

sàdeuxàT;„TjetT,.

9. Lemme. — Étant données deux génératrices quelconques G et C de la surface Tp, associées par rapport à la surface Sp, et deux génératrices quelconques H et H' de Tp, associées par rapport à Sp-, ces quatre droites et les arêtes OP, OQ sont toujours situées sur un même hyperboloïde.

En elTet, Jes droites H, H' et G, qui s'appuient toutes les trois sur OP el sur OQ, déterminent un hyperboloïde, dont l'inlersection avec la surface T^ est une courbe du huitième ordre.

Les droites H, H', G, OP et OQ faisant partie de l'intersection et ces deux dernières devant, cliaciine, compter pour deux, puisqu'elles sont des droites doubles de T^, la courbe d'intersection ne peut être complétée que par une sixième droite. Il s'agit de prouver que cette droite est précisément G'.

A cet effet, désignons respectivement par h, h, ; h', h\ ', g, g{', X, Xf les points où s'appuient sur la courbe K les droites H. H', G et la droite cherchée.

J.es droites H et H' étant associées par rapport à la surface S^, l'on a

a droite G el la droite cherchée étant des génératrices de T^,, l'on

Maintenant, remarquons que les huit points h, A, ; h', h\ ; g^ gi ; X, .V, étant les points d'intersection de K avec une surface de second degré, on a, d'après les principes posés par M. Clebsch,

On déduit facilement des relations précédentes

D'où l'on voit que la droite cherchée xx, ne peut être que l'as-

sociéc de G relativement à la surface S^ ou son associée relativement à la surface Sp:

La dernière hjpollièse ne peul êlre admise.

Considérons en eiFet les quatre droites H, H'; G et xx,, qui sont quatre génératrices d'un même système de l'hj'pcrbobïde.

Les droites de ce groupe ne font que s'échanger entre elles, lorsqu'on prend leurs polaires relativement à Sy,-; l'hjperboloïde

qui

les contient devrait donc se transformer en lui-même

mplojant une transformation par polaires réciproques ayant pour base Sp'.

Ce qui est impossible, puisque l'bjperboloïde ne se confond pas avec S^'.

L'hypolbèse précédente étant donc écartée, il s'ensuit que la droite cherchée est la génératrice associée à G relativement à la surface Sj,.

Ce qui démontre le lemme énoncé cl-dessiis.

Corollaire. — Prenons ta trace de Ip sur un plan quelconque; soient n et II' les points où ce plan r^mcontre les arêtes OP et QR, ces points sont les deux points doubles de la courbe du quatrième ordre qui forme cette trace.

Soient a et p les points où deux génératrices quelconques, associées par rapport à Sp', coupent le plan sécant.

Désignons en général par x e\. y les deux points de la courbe où le plan sécant coupe deux génératrices mobiles de Tp associées par rapport à Sj,; il résulte du lemme précédent que, quel que soit le couple de points x ely que l'on considère, ces deux points variables et les quatre points fixes a, §, Il et H' sont sur «ne même conique,

10. Lemme. — E tant donnés une courbe du quatrième ordre ayant deux points doubles II et H', et deux points fixes a et ^ pris sur celte courbe, si l'on mène par ces quatre points une conique quelconque, la droite qui joint les deux autres points œ, y, où la conique variable rencontre de nouveau la courbe, enveloppe une conique.

Joignons les points II et II' à un point E pris arbitrairement

dans l'espace et, par les droites Eli et EH', faisons passer une snrfac* du second degré quelconque A. Le cône, ayant pour sommet E et pour base la courbe du quatrième degré, coopéra celte surface suivant une biquadratlque B. Soient a et 6 les projections coniques des points œ et P sur la courbe B, X et Y les projections coniques des points variables xely; les points a, p, x, y el n, n' étant sur une même conique, i! en résulte que les points a, è, X et Y sont dans un même plan. Comme, d'ailleurs, ils soûl situés sur la biquadratique, l'on voit que la droite XY engendre dans l'espace une surface du second degré; les droites telles que xy, qui, dans le plan sécant, sont les projections des géncralrices de celte surface, enveloppent donc une conique.

ConOLLAiRE, — De ce lenime et du corollaire précédent, il résulte immédiatement la proposition suivante :

Si Von coupe la surface Ip par un plan quelconque et si l'on désigne, pour un instant, sous le nom de points associés de la courbe d'intersection, les points de cette courbe qui appartiennent à deux génératrices delip associées relativement àSp, les droites qui joignent deux points associés quelconques enveloppent une conique.

11. Si d'un point de l'espace A, on mène les différentes droites qui rencontrent deux génératrices de Tp associées entre elles par rapport à la sur/ace Sp, ces droites forment un cône du second degré.

En effet, pour trouver le degré du cône formé par ces droites, menons par A un plan quelconque M et cberchons combien ce cône contient de droites satisfaisant à la condition donnée.

Ces droites doivent évidemment passer par un couple de points associés de la courbe d'intersection de T^ avec le plan M; or les droites qui joignent ces points associés enveloppent une conique à laquelle on ne peut mener que deux tangentes parle point A. Le plan M ne contient donc que deux droites satisfaisant à la condition donnée; le lieu cliercbé est donc un cône du second degré.

12, Les surfaces réglées Tp et Sp- ont quatre génératrices communes. En effet, les génératrices rectilignes de S^,' se partagent,

sait, en deux systèmes. En désignant par X et Y les points où l'une quelconrjue de ces droites s'appuie sur K, l'on a, pour les génératrices de l'un des systèmes, la relation

je dirai que les génératrices qui donnent lieu à cette relation du premier système. Les génératrices du second système doi lieu à la relation

Cherchons combien de génératrices de Sp- du premier système peuvent appartenir à la surface Tp. Soit XY l'une quelconque d'entre eiîes; on devra avoir à ia fois les deux relations

X + Y= /'- -+■ I] et X T=j:,;

d'où l'on déduit

relation qui fournit, pour X, les quatre valeurs suivantes :

les valeurs correspondantes de Y sont les quatre suivantes :

Y-sM + rH--'^-,

valeurs qui sont; deux à deux, devait le prévoir.

Il résulte de là que Tp et Sp.i du premier système, savoir ;

«gaie, à celles de X, :ml en commun deux j

donc les deux généralrices X'Y' eL X"'Y"' soiil associées relativement à la surface S^,

Ce que j'ai dit des génératrices du premier système s'a|jpllqiic également aux génératrices du second système.

D'où la conclusion suivante :

Les surfaces Tp et Sy,- ont quatre génératrices communes; deux d'entre elles sont d'un même système et sont associées relativement à la surface Sp ; les deux autres appartiennent à l'autre système de génératrices et sont également associées relativement à la même surface.

Il est clair que tout ce qui précède s'applique également à la surface S^,. Les quatre génératrices qu'elle a en commun avec la surface Tj, sont deux à deux associées par rapport à S^'.

\Z. Considérons maintenant un point quelconque M de la surface Sy,'; les droites qui, passant par ce point, rencontrent à la fois deux génératrices de Tp associées par rapport à S^, forment, comme je l'ai montré, un cône du second degré.

Ce cône passe par les génératrices (M') et (M") de la surface Sp' qui se croisent au point M. En effet, il y a sur cette surface deux génératrices de même système que (M'), qui sont en même temps deux génératrices de Ip associées par rapport à 5^, ; ces deux droites sont rencontrées par (M'), qui se trouve ainsi sur le cône dont je viens de parler. On démontrerait de même que (M") est située sur ce cône.

Remarquons, maintenant, que ce cône, ayant en commun avec Sp' deux génératrices, le coupe, iodépendamment de ces deux droites, suivant une section plane. D'où la conclusion suivante :

Si, par un point quelconque de la surface Sy , on mène les différentes di-oiles qui rencontrent à la fois deux génératrices de T^ associées par rapport à S^, ces droites forment un cône qui coupe Sp' suivant une conique.

1-4. Cette proposition peut encore être énoncée de la façon suivante :

Étant donnée la surface Sp', passant par la biquadra-

tique K, appelons, pour un instant, points conjugués de cette courbe les deux points où une génératrice quelconque de Tp rencontre la sur/ace; cela posé, si Von prend un point M quelconque de Sp- et si, par ce point et chacun des couples de points conjugués de K, on. fait passer une conique située sur Sp-, le lieu du point de la conique conjuguée harmoniquement de M, par rapport au couple de points conjugués qu'elle contient, est une conique (').

15. Supposons que le point M soit situé sur la courbe K, la conique dont je viens de parler passera également par ce point.

En effet, désignons par M' un point infiniment \oisin de M et situé sur la courbe K, parM" le point conjugué de M'. Si, parles trois points M, M', M", on fait passer une conique située sur la surface Sy,', le point de cette conique harmoniquement conjugué de M, relativement au couple de points M', M", est infiniment voisin du point M,

La conique passe donc par ce point, et l'on pourrait même déduire de la démonstration précédente que son plan touche la courbe K; mais il est facile de déterminer d'une façon plus précise la position de ce plan.

Examinons de plus près quel est le lieu des droites passant par M et rencontrant à la fois deux génératrices de T^ associées par rapport à S^.

Par le point M passe une génératrice de Tj,; soient ^ cette génératrice et g' son associée. Toute droite passant par M et s'appuyanl sur g' rencontre les deux génératrices associées g et ^; le plan qui contient le point M et g' fait donc partie du lieu clierché. On peut remarquer d'ailleurs que, les génératrices g el g' étant polaires réciproques relativement à la surface S^,, ce pian est précisément le plan tangent à cette dernière surface.

Ce plan faisant partie du lieu qui est en général un cône du

(') Cette propriété est caractéristique de la surface S^,.. Lorsque c est une sphère, la courbe K jouit alors de propriétés particulières qu quelque intérêt.

Voir dans !e Bulletin de la Société pkilomatklque (mars 186B} n les Cassinicnoes planes et sphériques.

second degré, le lieu doil se composer en outre, dans ce cas, d'un second plan.

Il est facile de voir que ce second plan esl )e plan tangent mené par M tangentiellement à la surface Sp'. Considérons en efFel une des génératrices de cette surface qui passe par M, par exemple celle du premier système (M,); comme je l'ai montré plus haut, la surface S^' contient deux génératrices du second système qui sont en même temps des génératrices de Tp associées par rapport à Sp ; ces deux droites sont rencontrées par (M,); le même raisonnement s'applique évidemment à la deuxième génératrice de Sy qui passe par le point M. Gela posé, le plan cherché ne peut être que le plan de ces deux génératrices, ou, en d'autres termes, le plan tangent en M à la surface Sp'.

D'oii la conclusion suivante :

Si, par un. point quelconque M de la courbe K, on mène les différentes droites qui rencontrent à la fois deux génératriees de Tp associées par rapport à la surface S^,, ces droites sont situées dans le plan mené par le point M tangentiellement à la surface Sp'.

De même :

Si, par un point quelconque M de la courbe R, on mène les différentes droites qui rencontrent à la fois deux génératrices de Tp associées par rapport à la surface Sp-, ces droites sont situées dans le plan mené par le point M tangentiellement à la surface Sp.

Propriété que l'on peut encore énoncer comme il suit :

Etant mené, par un point quelconque M de la courbe K., le plan tangent à la surface Sp, toute droite de ce plan qui, passant par ce point, rencontre une génératrice de Tp, rencontre aussi la génératrice de cette surface qui lui est associée relatii-ement à Sp',

16, Considérons maintenant la surface Sp et deux génératrices quelconques, h et h', de Tp associées par rapport à la surface Sp', en sorte que k et k' soient des droites polaires réciproques relativement à cette dernière surface.

Je dis que si une droite mobile D est assujettie à rencontrer conslammeni. les deux droites h et h' et à toucher la surface S^, ie lieu de son point de contact est la courbe K,

En effet, étant pris un point quelconque -/i sur la droite h, il résulte, de îa définition même du mouvement de D, que par ce point passent deux droites satisfaisant ans conditions données; à ces deux droites correspondent d'ailleurs deux points de contact V et Tj".

Imaginons le cône circonscrit à Sp et ayant pour sommet le point T, ; la courbe de contact de ce cône, dont le sommet est sur la droite A, passe d'abord par deux points fixes qui sontles points où Sp est coupée par la polaire de h relativement à cette surface. Ces deux points fixes sont sur la courbe K; car celte polaire est la génératrice de T^ associée de h par rapport à S^,, et l'on sait que cette génératrice s'appuie sur deux points de R.

Abstraction faite de ces deux points fixes, la conique de contact rencontre K en deux points variables; en l'un de ces points a menons le plan langent; ce plan coupe la droite h au point -ii; d'ailleurs la droite a-/i, étant située dans le pian mené par a tangentiellement à la surface S^ et rencontrant k, doit rencontrer h'; le point a se confond donc avec l'un des deux points -/i' et r" .

Le lieu de ces derniers points est donc la courbe K.

D'où la proposition suivante ■.

Étant données la surface S^ et deux génératrices quelconques de ï^ associées relativement à la surface Sp', si une droite mobile est assujettie à rencontrer constamment les deux génératrices et à loucher S^, le lieu des points de contact est la courbe K.

17. Il résulte de ce qui précède, qu'étant donnée une biquadratique quelconque K., on peut l'engendrer de la façon indiquée par le théorème de M, Cbasles, au mo;yen d'une quelconque des six surfaces

S,„ Sp.' S,, 5,r; S,., S,.-

que j'ai précédemment définies.

Ayant pris une de ces surfaces, l'on peut encore choisir d'une

inlioité de façons le couple de droites fixes qui, avec la surface, déterminent le mode de génération de la courbe.

]8. Les surfaces réglées du quatrième ordre, que j'ai rencontrées dans cette reclicrclic, Ty,, T, et T^, ne sont autre chose, comme il est facile de le voir, que les surfaces étudiées précédemment par M, de la Gournerie, sous le nom de quadricuspidales limites (').

Une telle surface contient deux droites doubles; T^, par exemple, a pour droites doubles les deux arêtes OP et QR du tétraèdre conjugué formé par les sommets des quatre cônes qui passent parla courbe K.

Par chacun des points de l'une de ces arêtes passent deux génératrices de la surface; si l'on désigne respectivement par x et y les points où une quelconque de ces deux génératrices s'appuie sur OP et sur QR, on voit qu'à chaque position du point x correspondent deux positions du point y, et réciproquement. Les points ^ et jK tracent donc, sur les droites doubles OP el OQ, ce qu'on peut' appeler des divisions homo graphiques du second ordre; mais ici ces divisions sont d'une espèce particulière et jouissent d'une propriété remarquabJe entièrement caractéristique.

L'on a en effet cette proposition :

Étant donné un point x' situé sur la droite OP, si y et y désignent les deux points qui lui correspondent sur la droite OQ, les points y' et y" ont pour correspondants le point x' et un autre et même point £'; de telle sorte que le point x" a aussi pour correspondants les points y' et y".

M, Chasles, qui, le premier, a signalé ce mode de correspondance remarquable, a montré que, si elle avait lieu pour une position particnlière du point x', elle avait lieu nécessairement pour toute antre position de ce point.

A-ppelons a et p les points où la droite OP coupe une quelconque des surfaces du second ordre V que l'on peut mener par K, et Y et S les points où QR rencontre cette même surface. Les droites OP et QR étant polaires réciproques par rapport à cette

(,' ) Voir liecheiclies sur les surfaces tétraédrales symétriques: iS6^, p. 85.

surface, y et S sont précisément les points de contact des plans menés par OP tangentiellenient à V.

Les droites ay, œ§, ^f et pô sont des génératrices de cette surfaoCj et chacune d'elles, rencontrant par suite en deux points la courbe K, en même temps qu'elle s'appuJe sur les deux droites OP et QR, est une génératrice de la surface réglée T^; il est clair maintenant qu'à chacnn des points a et p de la droite OP correspondent les deux points y et 3 de la droite OQ.

La correspondance qui existe entre les points de division sur ces deux, droites est donc de l'espèce particulière dont j'ai parlé plus haut.

La réciproqne est évidente, et l'on peut énoncer la proposition suivante :

Si; sur deux droites fixes, on a deux divisions qui se correspondent de telle façon qu'à un point quelconque d'une des droites correspondent deux points de la, seconde; si, en outre, le mode de correspondance est tel qu'un même couple de points de l'une des droites corresponde à deux mêmes points de l'autre, les droites joignant les couples de points. correspondants forment une surface réglée du quatrième ordre de l'espèce de celles que M. de la Gournerie a désignées sous le nom de quadricuspidales limites.

10. Ces dernières surfaces sont une variété de surfaces réglées du huitième ordre, que le même géomètre a étudiées sous le nom de quadricuspidales.

Elles peuvent se définir très simplement de la manière suivanic :

Considérons une bicpiadra tique K et une surface réglée quelconque dont chacune des génératrices s'appuie eu deux points sur la conrbe. Soient X et Y les points où l'une de ces génératrices rencontre K, et X', Y' les points analogues ponr la génératrice infiniment voisine : on peut se demander comment la surface doit être particularisée, afin que les droites XY' et X'Y soient des génératrices infiniment voisines d'une même surface du second Ofdre passant par K.

Faisons pour un instant

X' = X -1- rfX,

pour que XY' et X'Y soient les génératrices d'une même surface du second ordre, on doit avoir