X-+.Y -t-dY = Y-+-X-=r dX, ou enfin

dYs3dX

et, en Intégrant,

a désignant une quantité constante.

La surface engendrée par une droite XY, s'appuyant sur la courbe K en deux points X et Y satisfaisant à la relation précédente, est la quadricuspidale; je dirai, pour abréger, que Reslla base de la quadricuspidale.

Une propriété très simple et entièrement caractéristique de cette surface résulte immédiatement de la relation précédente.

Soient XY et X'Y' deux génératrices quelconques d'une quadricuspidale, on a

relations d'où l'on déduit

d'où la proposition suivante :

Étant données deux génératrices quelconques XY et ,X'Y' d'une quadricuspidale ayant pour base une biquadradque K, les deux droites XY' et YX' sont deux génératrices d'un même système d'une surface du second ordre.

20, Soient deux génératrices infiniment voisines XY et X'Y' d'une quadricuspidale G ayanl pour base K; d'après ce qui précède, XY' et Y'X sont les génératrices d'une même surface de second ordre passant par K.

Par XY menons un plan quelconque L et cltercbons le pointoù ce plan est tangent à la surface G. A cet effet, projetons les deux génératrices sur un plan perpendiculaire au plan L; soient respec-

livemenL ^, -f[, ^' et 1\' les projectioDS sur ce plan des points X, Y, X' el Y'; - le point d'inlersection des deux droites ^ïj et ^'r/, w celui où se coupent les droites 5'l' et T)^'. Les points -u et w ont évidemment pour limites les points de contact du point L avec la surface quadricuspidale et avec la surface du second ordre passant par K et par Ja droite XY ; d'ailleurs on voit immédiatement, en considérant la figure formée sur la projection, que ces points limites divisent harmonique ment le segment ^/i-

On en conclut la proposition suivante d'un fréquent usage dans les applications :

Étant données une quadrlcuspidale ayant pour base une courbe K. et une génératrice XY de cette surface, si l'on considère en même temps la sur/ace du second ordre qui passe par K et par XY, tout plan mené par cette dernière droite louche la quadrlcuspidale et la sur/ace du second ordre en deux points qui partagent harmoniquement le segment 'K.'Y .

Soient Lie plan mené par XY et Y, Z les deux points où ce plan coupe la courbe K; YZ est la deuxième génératrice de la surface du second ordre située dans le plan; le plan de rencontre ï des droites YZ el XY est le point où se touchent ce plan el celte surface; son conjugué harmonique, relativement au segment XY, est donc, d'après ce qui précède, le point où le plan L touche la quadrlcuspidale,

21. Une quadricuspidale a quatre lignes doubles. En effef. soit XY une génératrice de cette surface; prenons un quelconque des sommets des cônes qui passent par la base K, ie point O par exemple. Joignons X el Y au point O, et soient S', Y' les points où les droites ainsi obtenues rencontrent K.; on a les trois con-

d'où Ton déduit

La droite Y'X' est donc une deuxième génératrice de la surface appelons îi le point d'intersection des droites YX et Y'X'. On vol que li est un point double de la surface; ce point, d'après la façor

même dont on l'a construit, est d'ailleurs évidemment dans Je plan des trois sommets PQR. Lors donc que la génératrice XY se déplacera, il engendrera une ligne double de la surface située dans ce plan.

En coDsidéranlde même les autres sommets du tétraèdre OPQR, on verrait que la surface possède en tout (juatre lignes doubles situées dans cljacune des faces de ce tétraèdre.

La surface ne peut d'ailleurs avoir d'autre ligne double (sauf la base K.); car, comme il est facile de le voir par un calcul très simple, X'Y' et les trois droites analogues correspondant aux sommets P, Q el R sont les seules génératrices de la surface qui rencontrent une génératrice donnée XY, en outre de celles qui passent par les points X el Y eux-mêmes.

Revenons maintenant à la nature de ces lignes doubles.

Soit (ii) la courbe décrite par le point Q dans le plan PQR. Appelons o> le point de rencontre des droites XY' et YX' ; joignons Ow, et désignons par y et -/ les points où cette droite rencontre XY el X'Y'.

D'après ce que j'ai dit dans le paragraphe précédent, le plan OXY touche la quaJricuspidale aux points y et y'; ce point est donc doublement tangent à la surface, l'arête de contact étant la droite Ow. Le cône, enveloppé pat ces plans tangents doubles, qui passent tous par O, est un cône du second degré; on le démontre facilement en faisant voir que, par toute droite telle que OX, on ne peut mener que deux plans tangents à ce cône.

Le point (i> est la trace sur le plan PQR de l'arôte Ou de ce cône; ce point se .déplace donc sur une conique (w).

Remarquons maintenant que la droite mÛ est la tangente à cette conique ; en considérant la figure (' ), on voit immédiatement que le segment wli est partagé harmoniquement par le cône qui a pour sommet O et pour base K.

D'où l'on conclut la proposition suivante :

Soient (ti>) la trace sur le plan PQR du cône doublement circonscrit à la surface ayant pour sommet le point O , et[0) la trace sur le même plan du cône qui, ayant le même sommet.

passe par la courbe K. : la ligne double de la quadricuspidale, située dans le plan PQR, peut s'obtenir en prenant, sur chacune des tangentes menées à la courbe (tu), le point conjugué harmonique du point de contact par rapport au segment intercepté sur la tangente par la courbe (O),

22. Les surfaces quadricuspidales se présenlent dans un grand nombre de questions relatives aux bi quadratiques gauches ou aux courbes du troisième ordre.

Elles fournissent, par exemple, une solution très simple de ce problème que l'on rencontre dans l'application des Ibnclions elliptiques aux courbes du troisième ordre :

Étant donnée une courbe du troisième ordre C, trouver des courbes telles que la tangente menée en un quelconque de leurs points soit partagée harmoniquement par le point de contact et par les trois points où. elle coupe C.

Ces courbes sont algébriques; on peut facilement les décrire dans le plan lui-même, mais la construction suivante se prête peut-être mieux à l'étude de leurs propriétés.

Prenons deux points quelconques de C et joignons-les à un point O de l'espace; par les deux droites ainsi obtenues, faisons passer une surface du second ordre A.

Le cône, ayant pour sommet O et passant par C, coupe A suivant une biquadratique K.

Imaginons une quelconque des surfaces quadrJcuspidales qui ont pour base K, le cône circonscrit à cette surface et ajaot pour sommet O coupera le plan de C suivant une courbe jouissant de la propriété indiquée.

Eu considérant les diverses quadricuspidales qui ont pour baseK, ■on obtiendrait la solution complète du problème.

23. Tontes les autres propriétés de la quadricuspidale se déduiraient également avec (acrlité de la définition très simple que j'en ai donnée plus haut.

.Te ne m'étendrai pas davantage sur ce su jet, me contentant de renvoyer le lecteur à l'Ouvrage déjà mentionné de M. de la Gournerie.