PROPRIÉTÉ DE L'HÏPERBOLOÏDE DE RÉVOLUTION
Bulletin des Sciences mathématiques et astroiiomiqm
\. M. Bertrand a démontré depuis longtemps que les normales principales d'une ligne à double courbure donnée ne peuvent être les normales principales d'une autre ligne à double courbiire, à moins qn'i! n'existe une relation linéaire entre les deux courbures de la courbe donnée.
Les courbes gauches, qui jouissent de cette remarquable propriété, se présentent d'elles-mêmes quand on étudie la déformation des surfaces gauches.
Considérons une surface gaiicbe; il est commode dans un grand nombre de questions de déterminer chaque point de la surface par sa position sur la génératrice recti ligne qui le contient, cette génératrice étant elle-même déterminée par le point oi\ elle rencontre la ligne de striction et les angles qu'elle fait avec cette ligne.
Les formules propres à ce système de coordonnées s'établissent immédiatement. Je transcrirai seulement les suivantes.
Appelons :
u la longueur de i'arc de la ligne de striction compris entre une origine arbitraire fixe et le point m, où la génératrice coupe cette ligne;
p le rayon de courbure de la ligne de striction au point m;
T son rayon de torsion en ce point;
w l'angle que fait la génératrice considérée avec la tangente à la ligne de striction ;
6 l'angle que fait la normale principale au point /n à la ligne de
striction avec la droite menée perpendiculairement à la génératrice dans le plan langent à la surface en ce point; d^ l'angle infiniment petit de deux génératrices consécntives. PosOQS, en outre, pour abréger,
On a, ontre ces diverses quantités, les deus relations suivantes :
^ ' rf<T p
2. Supposons maintenant que l'on déforme la surface de façon que les génératrices rectiiignes demeurent des droites; la surface donnée se transforme en une autre surface gauche dont la ligne de striction est la transformée de la ligne de striction de la surface primitive.
Les quantités a-, w et k conservent la même valeur pendant la déformation ; les rinantités variables 9, x et p sont liées entre elles par les équations (i) et (2).
On peut se donner, par exemple, arbitrairement la valeur de 9 en fonction detr; on déduira alors des relations précédentes les valeurs de p el-r; la recherche de ia nouvelle ligne de striction se ramènera à l'intégration d'équations aux dilTérences ordinaires.
Si l'on élimine 9 entre les équations (1) et (a), on obtient une équation différentielle entre p, t et o- à laquelle doit satisfaire la ligne de striction, quelle que soit la déformation de la surface,
3, Supposons, en particulier, que la surface donnée soit un hyperboloïde de révolution; dans ce cas cd et ^ sont des quantités constantes dont la valeur détermine complètement la surface.
L'équation (i) donne alors
Écartons le cas où l'on aurait p ^ ce , et où, par conséquent, I.
ligne de slriclion serait une ligne droite ; on déduit de là
l'éqnalion (i) devient alors
Les deux courbures de la ligne de striction sont ainsi liées par une relation linéaire, et l'on en déduit la proposition suivante :
De quelque façon que Von déforme un hyperboloïde de révolution en conservant la rectitude des génératrices, la courbe en laquelle se transforme le cercle de gorge de l' hyperboloïde jouit de la propriété qu'en chacun de ses points il y existe une relation linéaire entre ses deux courbures.
4. Réciproquement, étant donnée une courbe jouissant de c^tte propriété, on peut mettre la relation fjui existe enlre les deux courbures soiis la forme (3); les constantes w et A' déterminent un hyperboloïde; et l'on peut toujours déformer cet hvperboloïde de façon que son cercle de gorge se transforme en la courbe donnée.
La recherche des surfaces réglées développables sur un hyperboloïde de révolution est donc ramenée à la solution du problème
Trouver toutes les courbes gauches qui jouissent de la propriété signalée par M. Bertrand.
