RECHERCHES GÉOMÉTRIQUES SUR U CÏCLIDE

Bulletin de la Société philomiithique

1. La cyclide a été étudiée d'abord par M. Dnpin, q\ii en a découvert les principales propriétés; depuis elle a été le sujet des travaux d'uu grand nombre de géomètres {'). La cyclide est un cas particulier des surfaces aiiallagmatiques du quatrième ordre, et elle jouit de toutes leurs propriétés. Elle peut être définie ainsi qu'il suit: Étant donnée une conique K et un cercle G doublement tangent à celte conique, la cyclide est l'enveloppe des sphères dont les centres sont situés snr la conique K et qui coupent orthogonalement une s|}hère quelconque passant par G.

J'appellerai axe de la cjxlide la droite T menée par Recentre de C, perpendiculairement au plan de G et de K.

On sailque la cjclide peut encore être engendrée d'une façon analogue, au moyen d'une autre conique K', ayant les mêmes foyers que la première et située dans un plan perpendiculaire à son plan, et d'un cercle C' doublement tangent h K'; la corde des contacts est d'ailleurs l'axe T dont J'ai parié ci-dessus. La droite T' menée par le centre du cercle C, perpendiculairement à son plan, se confond avec la corde de contact de C et de K; c'est le second ase de la surface.

2. Soit une sphère S arbitrairement tracée dans l'espace et M son centre; il est facile d'avoir son intersection avec la cyclide.

{') Vfiir ngtamment dans les Nouvelles Annales de Mathématiques i un Mémoire de M. Maniiheim suc l'application de la transforma lion par vcoleurs réciproques à l'étude ilc la cyclide.

En effet, par C faisons passer une sphère conpanl orlhogonalement 8; son centre O sera par conséquent sur l'axe F. Considérons le cône ayant pour sommet le point M et pour base K, et menons par le poinr O le cône supplémentaire de celui-ci (c'est-à-dire le cône dont les génératrices sont perpendiculaires aux plans tangents menés au premier cône). Ce cône coupera la sphère S suivant l'intersection cherchée; remarquons maintenant que, si le centre de la sphère reste fixe, pendant que son rayon varie d'une façon arhitraire, ce cône supplémentaire reste identique avec luimême et ne fait que se déplacer dans l'espace; qu'en entre, les considérations que j'ai développées au sujet de la conique K s'appliquent à la conique K'; ou déduira de là facilement les conséquences suivantes :

(I Etant données une cjclide et une sphère, ces deux surfaces se coupent suivant une courbe du quatrième ordre, suivant laquelle on peut mener quatre cônes, deux des sommets de ces cônes sont respectivement situés sur l'axe T et sur l'axe T'.

» Si, laissant le centre delà sphère fixe, on fait varier son rayon, les deux cônes, dont les sommets sont situés sur les ases, se déplacent parallèlemeot'à eux-mêmes, en conservant la même forme, leurs sommets décrivant les deux axes de la surface.

)) Si l'on coupe la surface par une sphère ayant pour centre un point d'une des coniques K et R', on peut par la courbe d'intersection faire passer un cône de révolution dont le sommet est sur l'autre conique.

» En particulier, si l'on considère une des sections circulaires de la surface, toule sphère qui la contient coupe la surface suivant un autre cercle; les cônes, qui passent par ces deux cercles ont leurs sommets sur les deux axes de la surface, à moins que les plans des cercles ne passent par l'une de ces droites (ce qui a lieu pour les cercles de courbure),

i> Si l'on coupe la cyclide par un plan, la section est une anallagmatique qui a quatre pôles principaux de transformation; ces pôles senties centres des cercles qui contiennent les seize foyers de la courbe; de ces pôles, l'un est situé sur l'axe T et l'autre sur l'axe F'. Les foyers singuliers de cette courbe sont les foyers de la projection sur le plan sécant de la conique R ou de la conique K'. .

LA CYCLIDE. jtf,

3. La cj'dide peut être considérée comme «ne anallagmatiqne, pour laquelle une des focales se réduit à un système de quatre droites isotropes (nécessairement situées sur une même sphère).

Soient, sur une sphère réelle (ou du moins dont l'équation est réelle), deux points M et M' imaginaivement conjugués; par le point M passent deux génératrices G et H de la surface (ce sont des droites isotropes), par le point M' passent deux génératrices G' et H', imagioairement conjuguées des premières.

Toutes les surfaces anallagmaliques, ayant pour focale l'enseuihle des quatre droites G, H, G' et H', sont des cyclides homofocales.

A cette focale se rattache un groupe de sections circulaires ( ' ) qui se subdivise lui-même eu un groupe (G) représentant les divers points des droites G et G' et en un groupe (H) représentant les points des droites H et H'.

D'un théorème général donné dans ma Note sur l'emploi des imaginaires dans la géométrie de l'espace, on peut déduire la proposition suivante qui s'accorde avec ce que j'ai dit dans le paragraphe précédent :

Etant pris un cercle quelconque du groupe (G) et un cercle quelconque du groupe (H), les deux cônes, qui passent par ces deux cercles, ont respectivement leurs sommets sur les axesT etr'.

Les cercles des groupes (G) et (H) sont ceux suivant lesquels la surface est coupée par ses plans bitangents.

On peut remarquer que les axes de la surface sont la droite MM' et la polaire de cette droite relativement à la sphère qui contient les droites isotropes qui constituent la focale.

■i. Ce qui précède conduit à un nouveau mode d'étudier la cycHide. Mais avant d'aborder ce sujet, je crois devoir rappeler quelques-uns des résultats obtenus dans la Note déjà citée sur

{') Voir dans l'Institut, et ddiis le Bulletin de la Sjciété pkilomathigue. avril 1870, ma Note : Sur l'emploi des imaginaires dans la géométrie de l'espace.

17 O GÉOMÉTHLE.

l'emploi des imaginaires dans la géométrie de l'espace, et développer quelques points de détail qui s'y rapportent.

Un cercle réel, dans l'espace, détermint; deux points imaginaires; ce sont les sommets des deux cônes isotropes qui passent par ce cercle; en lixant le seus dans lequel on suppose ce cercle décrit, il représentera d'une façon précise un de ces deux points.

Un point imaginaire, dans le plan, est déterminé par un couple de points réels; l'ordre dans lequel ces points doivent être pris est également déterminé.

Soit C un cercle quelconque de l'espace, que nous supposons décrit dans un certain sens, et qui représente un poinlimaginaire, a; projetons ce point sur un plan réel et soita sa projection. Le point a sera représenté par un couple de points que l'on peut obtenir de la façon suivante :

« Supposons un spectateur placé au-dessus du plan de projection et à une distance très grande de ce plan, conservons seulement du cercle C la moitié dont le spectateur voit la partie convexe. Ce demi-ceicle se projette sur le plan suivant une demi-ellipse; le sens dans lequel est décrite celle demi-ellipse est d'ailleurs déterminé par le sens dans lequel est décrit le demicercle dont elle est la projection.

>ï Cela posé, si l'on désigne par A et A' les foyers de cette ellipse, A étant le foyer le plus rapproché de l'origine de la demi-ellipse que l'on a conservée et A' le foyer le plus rapproché de son extrémité; le point a est représenté par le segment (A, A'). »

5. On peut se proposer d'étudier la façon dont sont distribués dans l'espace les points d'une droite imaginaire donnée, ou plutôt comment sont distribués les cercles représentatifs de ces points. Trois cercles pris arbitrairement dansl'espace (le sens diins lequel ils sont décrits est évidemment supposé donné) ne peuvent évidemment pas être pris arbitrairement.

Leurs projections sur un plan arbitraire devant être en ligne droite, de ce que j'ai dit dans le paragraphe précédent résultent immédiatement les conséquences suivantes :

« Soient trois cercles (de sens bien déterminé) représentant trois points en ligne droite; si l'on projette ces cercles sur un plan quelconque, et si l'on désigne respectivement par a et a', b

et 6', c cl c' les foyers des coniques suivant lesquelles se projeltenl les cercles (ces foyers étant pris dans un ordre convenable), les deux triangles abc et a'b'c' sont semblables et inversement placés. » Kéciproquement, si trois cercles jouissent de la propriété précédente par rapport à'dcits plans de projection, ils vc présentent trois points en ligne droite, et ils en jouissent par rapport à tout autre pian de projection . n

6. Pour étudier la distribution dans l'espace des points d'une droite imaginaire, appelons g cette droite, et g' la droite imaginairement conjuguée. Ces deux droites ne se rencontreront pas eii général,

La droite sur laquelle se mesure leur plus courte cilsliince est réelle.

Pour classer les points de la droite g, menons dans l'espace une droite arbitraire D; celte droite et les droites g et g' sont les génératrices du premier système d'un hyperboloïde réel R,

Considérons l'ensemble des génératrices du second système de cet hyperboloïde; chacune d'elles rencontre §■ en un point imaginaire représenté par un cercle réel et l'ensemble de ces cercles forme une suiface S.

En donnant à la droite D toutes les positions possibles, on obtiendra une infinité de surfaces S, l'ensemble des génératrices circulaires de ces surfaces représentera les points de la droire g.

7. Je n'étudierai ici que le cas particulier où la droite g est une droite isotrope {il en est de même par conséquent de g').

Dans ce cas, la surface S est une cyciide: on peut, en effet, par g et g' faire passer une sphère qui a, en outre, en commun avec R, un autre couple de droites isotropes conjuguées h et A',

Les cercles représentatifs des points de g donnent un système (G) de sections circulaires de lacyclide; les cercles représentatifs des points de h donnent un autre système (H) de sections circulaires de cette surface.

J'appellerai droites focales de la cyclide les droites réelles sur lesquelles se mesurent les plus courtes distances des droites g et g', h et h'.