Toutes les cyclides qui correspondent à la droite g ont

171 aÉOMÛTRlB.

une droite focale commune; leurs focales onl aussi en communies deux droites g et g' ; je dirai que de telles surfaces sont des cyciides semi-hoinofocales.

Deux cyelides semi-homofocales se coupent ( indépendamment de l'ombilicaîe et des droites g et g') suivant deux cercles ; car, soient D et A les deux droites qui les déterminent, les hyperboloïdes correspondants ont en commun deux génératrices du second système, qui déterminent deux cercles commuas aux surfaces.

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9. Considérons, en général, une courbe sphériqine K réelle (ou plutôt résultant de l'intersection d'une sphère et d'une surface algébrique dont les équations sont réelles), et une surface réglée réelle R, telle que chacune de ses génératrices rencontre K en deux points différents.

A chaque génératrice rectiligne de R correspondent deux points a et a' de R, qne l'on peut représenter par le cercle (a, a') qui résulte de l'intersection des deux cônes isotropes ayant respectivement pour sommets a ela' ('), Le lieu des cercles correspondant ainsi aux différentes génératrices de R est une surface S que l'on peut dire dérivée de la courbe K..

Soient S et S' deux surfaces dérivées de K, au moyen des surfaces réglées R et R'; l'intersection de S et de S' se composera d'abord d'un certain nombre de cercles ; car la surface R et R' ayant généralement un certain nombre de génératrices communes, chacune des génératrices communes fournit un cercle commun à S et S'. Outre ces cercles, la courbe d'intersection complète comprendra encore généralement une autre courbe V.

Il est facile de voir que, suivant chacun des cercles dont je viens de parler, les deux surfaces se coupent suivant un angle constant.

En effet, soit T une génératrice commune à R et R' et M un point quelconque du cercle correspondant, qui est commun à S et à S'. Le cône isotrope ayant pour sommet le point M coupe la

(') Voir dons l'Institut et dans le Bulletin de la Société pkilomatkiqut 1870. ma Note Sur l'emploi des imaginaires en géométrie.

OEÛMETRIQIlEa S

sphère, sur laquelle est siUiée K, suivant un plan passant pat- T; soient p et ^' les points où ce plaa louche respectivement les surfaces R et R'; d'après une propriété très simple que j'ai communiquée déjà depuis longtemps à la Société, M^ et M^' sont les normales menées par le point Ma S et à S'.

Quand deux surfaces réglées ont une génératrice commune, tout plan passant par celte droite touche les deux surfaces en deux points qui, lorsque le plan se déplace, déterminent sur la droite une division homographique. Dans le cas actuel, on voit immédiatement que les deux points doubles de celte division sont les points a et a' oif T s'appuie sui'R; d'après une proposition élémentaire bien connue, oh en conclut que le rapport anharmonique des quatre poinls ce, a' ; ^ et ^' est constant.

Menons maintenant les droites Ma et Ma',Mp et M^' ; le rapport anharmonique du faisceau est aussi constant, et, comme les droites Ma et Ma' sont isotropes, il en résulte que l'angle ^ Mp' est constant.

10. De la proposition précédente, relative aux surfaces dérivées d'une même courbe sphérique, découlent quelques conséquences dignes d'intérêt.

Supposons que K soit une biqnadratique spliériqne, que R soit une surface de second degré et R' une quadricuspidale ayant pour base K..

La surface dérivée S est alors une anallagmaliquc ayant K pour focale ; S' la coupe suivant quatre cercles correspondant aux quatre génératrices communes à R et R'. On voit immédiatement que le long de chacun de ces cercles les deux surfaces se coupent orlhogonalement.

En effet, dans ma Note Sur un problème de géométrie relatif aux courbes gauches du quatrième ordre insérée dans \e Journal de Liouville (iS'jo), j'ai démontré le théorème suivant:

Étant donnée une quadricuspidale ayant pour base ta courbe K et une génératrice 1.1! de cette surface {7. et a! désignant les points oà la génératrice s'appuie sur K), si Von considère en même temps la surface du second ordre qui passe par K et par rtn! , tout plan mené par cette dernière droite

touche la quadricuspidale et la surface du second ordre en deux points qui partagent harmoniqaement le segment aa'.

On en déduit immédiatement que Tangle aa' est droil. L'intersection de S et de S' estcomplétée par une des lignes de courbure de S.

On a donc ]a proposition suivante ;

Etant donnée une annllagmatique ayant pour focale la biquadratiqùe sphérique K, toute surface dérivée de K, au moyen d'une quadricuspidale ayant pour base K, coupe l'anallagmatique suivant une des lignes de courbure de cette surface et suivant quatre cercles; le long de ces quatre cercles, les deux surfaces se coupent orthogonalement.

M. William Roberts avait déjà donné ce théorème pour les surfaces du second ordre; la surface dérivée de la quadricuspidale est, dans ce cas particulier, le lieu des génératrices circulaires d'un système de siu-faces homolbcales dont les plans passent par leur centre commun.

H. Considérons dans l'espace une droite isotrope g et la droite isoliope g' , qui lui est imaginairemenl conjuguée. Ces deux droites sont situées sur une même sphère S qu'elles déterminent complètement.

Soient S et S' deux surfaces quelconques dérivées de g', elles jouiront des propriétés établies précédemment ; il est facile de voir en outre que leur intersection complète se compose des cercles dontj'ai parlé. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Soient deux surfaces quelconques dérivées dune droite isotrope, ces surfaces se coupent suivant un certain nombre de cercles et le long de chacun de ces cercles elles se coupent suivant un angle constant.

12. Soit D la droite réelle sur laquelle se mesure la plus courte distance des droites g elg'; si l'on donne à la figure uu mouvement de rotation quelconque autour de D, g et g' restent immobiles.

On en conclut que, si S désigne une surface dérivée de g, et

si on la fait tourner aiUonr de D de façon à lui faire occuper la |josilion So) So ^^^ "'1^ surface dérivée de g. D'où la proposilion suivante ;

Etant donnée une surface (juelconque S dérivée des droites isotropes conjuguées g et g', si on ta fait tourner, d'un angle quelconque, autour de ta droite réelle D sur laquelle se mesure la plus courte distanee de g et g' , dans la nouoelle position ta surface coupera la surface primitive suivant un certain nombre de cercles et le long de chacun de ces cercles les surfaces se couperont suivant un angle constant.

Il est ;i remarquer que la droite D passe par le centre de la sphèi-e S dont l'équation est réelle, mais qui n'est jamais réelle.

13. Ce qui précède donne une solution (renfermant une fonction arbitraire) du problème suivant;

Trouver une surface telle que, si on la fait tourner autour d'une droite fixe, la surface dans sa nouvelle position coupe la surface primitive sous un angle constant, quelle que soit la grandeur de la rotation effectuée.

Il est bien clair que la grandeur de l'angle varie avec la grandeur de la rotation et que la courbe d'intersection peut se composer de plusieurs courbes séparées, l'aniçle d'intersection variant d'une courbe à l'autre, mais demeurant le même le long de chacune d'elles.

Pour éviter les circonlocutions, lorsqu'une droite jouira par rapport à uue surface de la propriété que je viens d'énoncer, je dirai, dans les paragraphes qui suivent, que la droite est un axe de rotation de la surface.

Nous avons obtenu une classe de surfaces ayant un axe de rotalion; il est facile d'en trouver une seconde.

En effet, soient tracés dans un plan un cercle C et une courbe arbitraire A. Gliaque tangente à A rencontre C en deux points a. et a dont l'ensemble est représenté par le cercle (a, a'); les divers cercles qiti correspondent à toutes les tangentes que l'on peut mener à A, forment une surface B. Les cercles dont je viens de parler constituent un des systèmes de lignes de courbure de B.

,,6 GKOM^TR.E.

I! est facile d'obtenir l'autre ; menons, en effet, par C une sphère arbitraire, la développable circonscrite à cette sphère et à A touchera la sphère suivant une ligne de courbure deB; eten faisant varier le rayon de la sphère, on obtiendra toutes les lignes de courbure du second système.

Une surface telle que B pourrait être désignée sous le nom de sphérO'Cyclide, vu que l'un de ses systèmes de lignes de courbure se compose de cercles et l'autre de courbes sphériques.

J'appellerai cercle directeur de la surface le cercle C, et axe de cette surface la droite menée par le centre de ce cercle perpendiculairement à son plan.

La sphéro-cyclide jouit d'une des propriétés de la cyclide que j'ai mentionnées plus haut : si on la coupe par une sphère, on peut toujours faire passer un cône par la courbe d'intersection ; le sommet de ce cône est sur l'axe; si, le centre de la sphère restant fixe, son rayon varie, le cône qui passe par la courbe d'intersection ne varie pas de l'orme et se déplace paralièlêmenl à lui-même, son sommet glissant siirl'axe.

li. On voit immédiatement que deux sphéro-cyclides ayant même cercle directeur se coupent suivant un certain nombre de cercles; le long de chacun de ces cercles, elles se coupent suivant le même angle; ce que l'on peut voir par une démonstration directe, ou en remarquant que chacun des cercles est une ligne de courbure pour les deux surfaces.

En particulier, si l'on fait tourner une sphéro-cyclide autour de son axe, la surface obtenue après la rotation sera une sphérocyclide ayant même cercle directeur que la première; on peut donc dire que :

L'axe d'une sphéro-cyclide est un axe de rotation de cette surface.

On a ainsi une nouvelle famille de surfaces, dont l'équation renferme une fonction arbitraire, et qui possède un axe de rota-

15, La cyclide, en particulier, appariien Liilles de surfaces dont je viens de parler.

s geomethiques sur la cyclide. 1^7

De ce que j'ai dil plus haut, on déduit iniinédiatement les eonscqucnces suivantes :

(( i" Deux cyclides semi-homofocales se coupent suivant deux cercles et, le long de chacun de ces cercles, elles 'se coupent sous un angle constant.

» 2" Une cjclide a quatre axes de rotation; ce sont ses deux axes et ses deux droites focales. »

SUR QUELQUES