DES RAYONS DE COURBUIÎE DES SECTIONS PLANES

SURFACES ANALLAGBATIQUES.

Bulletin de la Société philomathique; i

\. Coiisidcrons une courbe plane K; soient m ie nombre des branches de cette courbe qui se croisent eu chacun des ombiHcs du plan, et n le nombre des points distincts des ombilics où la courbe est rencontrée par la droite de l'inGni.

Celle courbe a m foyers singuliers F,, F^, etc. Si un angle droit se meui de telle façon qu'on de ses côtés passe par un point fixe P du plan, tandis que son sommet décrit la courbe K, le second côté de l'angle enveloppe une courbe H, dont la classe est égale à ^{m-\-n).

Cette courbe {') a :

i" wfojers situés à l'infîm et sur des direclions perpendiculaires aux asymptotes de la courbe K qui ne sont pas isotropes ;

2° Un foyer multiple au point fixe P, qui compte pour {m-\-n) foyers;

3° m autres foyers G, , G( , clc. que l'on obtient en joignant le poinl P aux foyers singuliers de K, et en prolongeant d'une longueur égale à elle-même chacune des droites ainsi obtenues.

(') Voir dans le Journal de l'Institut et dans le Bulletin, de la Société philomathique {nov. 1868), ma Note sur quelques propriétés des coui-bes algébriques, etc.

Sun QUELQUES PROPRIETES DES aOURBES AtGEBRIQTJES. 179

2. SoÎL M UQ point quelconque du plan; sur MP comme diamètre décrivons une circonférence. Cette circonférence rencontre K en 2{ffï + «) points rf, et les 2 (ot + ti) droites M (^ senties tangentes que l'on peut mener du point M à ia courbe H.

En un de ces points d, menons le cercle qui, passant par P, touche K.; le point T où ce cercle rencontre Wd est le point de contact de cette droite avec H.

Je rappellerai ici le théorème que j'ai donné {^Journal de V Institut Qi Bulletin de la Société philomathique, février 1867 : Sur la détermination du rayon de courbure des lignes planes) :

Si, par un point "M. pris dans le plan d' une courbe plane de classe n, on mène les n tangentes à la courbe, le centre harmonique du point M relativement aux n foyers réels est le même que relativement aux n points de contact.

Si l'on applique le théorème précédent à la courbe H, en remarquant que l'on ne doit tenir aucun compte des foyers situés à l'infini, on trouve l'équatiou suivante:

Df

équation symboliqui

désigne une grandeur géométrique égale en valeur absolue à l'ii verse de MT et ayant pour direction la direction de cette droite.

3. Je me bornerai aux applications les plus simples de la formule précédente. Il serait facile devoir comment les résultats suivants peuvent s'appliquer à une courbe quelconque.

Supposons, en particulier, que la courbe K ne rencontre la droite de l'infini qu'aux ombilics, en sorte que l'on ait

Je désignerai, pour abréger, une telle courbe sous ie n courbe cyclique.

Par 11(10 transformation facile on déduira de la formule préeédenLe le tliéorème suivant :

Si l'on coupe une courbe cyclique par un cercle C et si, en chacun des points d'intersection, on mène un cercle touchant la courbe et passant j>ar un point Jixe P pris sur C, le centre harmonique du centre de C relativement aux centres de ces cercles est le même que le centre harmonique du même point relativement aux foyers singuliers de la courbe et au pointP, ce dernier étant compté mjois, 2 m désignant le degré de la courbe.

■i. En particulier, le cercîe sécant peut se réduire à une droite, et l'on a la proposition suivante :

Étant donnée une courbe cyclique de degré 2 m, une droite quelconque la coupe en im, points; si, en chacun de ces points, on mène un cercle qui touche la courbe et qui passe par un point fixe P situé sur la droite, le centre des moyennes distances des centres de ces 2 m cercles est le point milieu de la droite qui joint le point P au centre de la courbe.

Remarque. — J'appelle ici centre de la courbe les centres des moyennes distances dc'ccs m foyers singuliers.

S. Pour abréger, dans ce qui suit, je représenterai par la notation {a,b.c,...)

le centre des moyennes distances des points a, b, c, ....

Cela posé, appliquons ce qui précède à une anallagmalique {courbe cyclique du quatrième ordre).

Étant données une anallagmalique et une droite qui la coupe aus points a, b, c et rf, prenons sur cette droite un point quelconque m. Soient a, j3, y et S les centres des cercles qui, passant par le point m, louchent l'anallagmatique aux points donnés.

D'après ce que j'ai dit ci-dessus, l'on a

C désignant le centre de l'anallagmatique, c'est-à-dire le point milieu de la droite qui joint ses deux foyers singuliers.

s GOURBES AI-OEERIQUEE.

Supposons qwe le point m se confonde avec le point c confond aussi avec ce dernier point, et l'on a

d'où

Si maintenaiil la droite donnée touclie l'anallagmaliquc au point m, il esl clair que le point ^ devient le centre [i du cercle osculateur de la courbe au point m ; on a donc, y et 8 désignant les centres des cercles qui passent par m, et touchent l'anallagmatique aux deux points où elle est coupée par la tangente en m,

soit i le point milieu du segment y^i on aura

D'où celle conclusion :

« Soit C le centre d'une anallagmatique, la tangente en un point m de cette courbe la rencontre de nouveau en deux points c et d; soient i" st S les centres des cercles qui, passant par le point m, touchent la courbe en c et (i et i le point milieu du segment -(B; cela posé, si, par le point m, on mène une droite parallèle à iC, dirigée dans le même sens et de longueur double, l'extrémité de cette droite est le centre de courbure de l'anallagmatique au point m ».

6. Appliquons ce qui précède aux surfaces anallagma tiques (du quatrième ordre); je m'appuierai principalement sur la propriété

En appelant centre d'une surface anallagmatique le centre commun aux trois coniques qui constituent ses focales singulières, toute section plane de la surface est une anallagmatique plane ayant pour centre la projection sur le plan sécant du centre de la surface .

Cela posé, soient M un point de celle surface et une tangente MT passant par ce point; soient P et Q les points où cette droite rencontre de nouveau la surface, p el q les centres des sphères qui, passant par le point M, touchent la surface en P et Q.

Si par la droite MT nous menons un plan sécant quelconque, il coupe la surface suivant une courbe à laqueûe on peut appliquer les thcorèmes précédents; remarquons maintenant que le centre de cette courbe est la projection sur le plan sécant du centre de la surface, que les centres des cercles qui, passant par le point M, touchent la courbe en P et Q, sont les projections des centres des sphères, qui passent par le point M et touchent la surface en P elQ.

D'oii les propositions suivantes :

Théorème I. — Étant donnée une surface anallagmatique et une droite qui la rencontre aux points «, t, c, d\ soit pris sur cette droite un point quelconque M; soient, déplus, a, p, Y e( S les centres des sphères qui, passant par M, touchent la surface en a, b, c et d.

Le centre des moyennes distances des points a, p,f et S est le point milieu de la droite qui joint les deux points M et C, C désignant le centre de la surface.

Théorème II. — Soient M un point quelconque d'une surface anallagmatique et une droite quelconque MT gui touche la surface en ce point; la droite MT rencontre la surface en deux points distincts du point M; soient a. et ^ les centres des sphères qui, passant par le point M, touchent en ces deux points la surface, et I le milieu du segment a^.

Cela posé, si, par le point M, on mène une droite parallèle à IC, dirigée en sens inverse et de longueur double, l'extrémité de cette droite est le centre de courbure de la section faite dans la surface par le plan normal passant par Wï .