I. — Considérations prélii

\. Je me propose, dans cette Note, d'étendre au cas de l'espace et de développer les considérations que j'ai exposées d'une façon succincte dans mon Mémoire de géométrie analytique inséré dans le Journal de Lioaville (janvier 1872 ).

Considérons, dans l'espace, une figure rapportée à un système quelconque de coordonnées rectangulaires, rr, y et s étant les coordonnées par rapport à ce système d'ases d'un point M de la figure. S désignant une surface algébrique quelconque de classe n., si l'on imagine le cône circonscrit à cette surface et qui a pour sommet le point M, on voit que ce cône est un cône algébrique de n"""' classe. Un plan tangent à ce cône sera tangent à ta surface, et si l'on appelle ^, ■/;, Ç les cosinus des angles que fait avec les axes la normale à ce plan, ces quantités satisferont à iine équation du rt'^™'' degré, homogène par rapport aux trois variables,

Les coefficients de cette équation sont des fonctions données des variables a^, y et s ; et il est facile de voir que ces fonctions ne peuvent être choisies arbitrairement.

De ce qui précède il résulte, en effet, que X, Y, Z désignant les coordonnées courantes,

est l'équation d'un plan tangent à S; le point où ce plan coupe

l'axe des s est déterminé par l'équation

ce point étant donné, les rapports = et - sont reliés entre eux par une éqiiation du degré n.

La forme générale de l'équation (i) est donc

¥(È,ï;,i:,a:È-l-Jil-H3i:) = ",

la caractéristique to désignant un poljnonîe entier quelconque du degré n. En mettant seulement en évidence les ;, -/j, Ç, je l'écrirai ordinairement sous la forme (i), et je l'appellerai IVjMaïion mixte de la surface S.

On peut interpréter cette équation d'une façon un peu difTérente; si l'on suppose un système d'ascs rectangulaires parallèles aux premiers axes el dont l'origine mobile soit transportée au point M; en appelant \, ■/[, Ç les coordonnées relatives à ce nouveau système d'axes, l'équation (i) représente le cbne supplémentaire au cône ayant pour sommet le point M et circonscrite S.

2. Il est facile de passer de l'équation tangentielle d'une surface à son équation mixte. De cette dernière équation on déduit immédiatement son équation en coordonnées cartésiennes; en effet, pour un point de la surface le cône siipplém en taire au cône cirà la surface et dont l'équation est

a une arête double; ou, si l'on veut, la courbe K que représente l'équation en coordonnées triangulaires a un point double. On obtiendra donc l'équation de la surface en coordonnées cartésiennes en égalant à zéro le discriminant de la forme ternaire F. Ceci se rapporte au cas général; mais, si la surface S avait une ligne de contact multiple avec une développable, la courbe K aurait constamment un certain nombre de points doubles; et l'équation cartésienne de la surface s'obtiendrait en écrivant la condition nécessaire et suffisante pour que K ait un point double de plus, c'est-à-dire en égalant à zéro la fonction des coefficients que M. Cayley appelle le discriminant spécial de la courbe.

SUB LES SVHFAOES ÀLSEBRIQUES. lS5

3. Je représenterai les surfaces que j'aurai à considérer par leurs équations mixtes. Ces équations mixtes s'obtiennent en égalant à zéro des formes ternaires en ^, ïj et i^; les coefficients de ces formes sont des fonctions de x, y, z, assiijetties à satisfaire à certaines conditions, dont it faudra dans beaucoup de cas tenir compte.

On peut toutefois les laisser souvent de côté en s'appuyant sur la proposition suivante :

Étant donné un nombre quelconque de surfaces dont les équations mixtes soient

si Von désigne par I un invariant quelconque de ce système de formes, l'équation

représente une surface dont le degré est indiqué par le poids de l'invariant.

Les contre variants (simples ou multiples) des formes représentatives des surfaces s'introduiront d'eux-mêmes quand on considérera un certain nombre de points en même temps que ces surfaces.

Soit en effet un point M dont les coordonnées soient a, ^ et y; si nous posons, pour abréger,

l'équation mixte du point M est

et les invariants simultanés de cette forme et du système déformes donnés sont des contre variants de ce système.

■4. Au point de vue où je me place dans cette Note, l'étude d'un système de surfaces consiste dans l'étude des formes ternaires qui, égalées à zéro, fournissent leurs équations mixtes et dans l'étude des surfaces que représentent leurs divers invariants.

Les contrevariants (simples ou multiples) de ces formes interviennent quand on adjoint à ces surfaces un certain nombre de points.

Quant aux covarianls, ils jouent un rôle distinct et moins important.

ë. Si l'on considère deux snrfaces, leurs équations mixtes (en considérant les i, t\, K comme variables) représenieroni deux courbes planes.

En exprimant que ces deux courbes sont tangentes, on obtiendra l'équation de la développable circonscrite à ces deux surfaces; en exprimant que ces deux courbes ont un double contact, on aura les équations de la ligne nodale de cette développable. Son arête de rebroussement s'obtiendra en exprimant que les deux courbes sont osculaloires.

Étant données trois surfaces, le résultant de leurs équations mixtes égalé à zéro donnera les équations de leurs plans tangents commims ; de môme le résultant des réciprocants de ces équations donnera l'équation de la surface réglée qui leur est circonscrite.

6. Pour prendre l'exemple le plus simple, l'équation d'une surface du second ordre S étant

OÙ F désigne un polynôme homogène et du second degré par rapport aux ^, ïi, Ç; si l'on appelle G la forme adjointe à F, on voit que le cône, circonscrit à la surface et qui a pour sommet un point donné M, a pour équation

G(X,Y,Z) = o, si, a, p, y étant les coordonnées du point M, on pose pour abréger

Soit un second point M' dont les coordonnées soient a.', P' et y ; en posant

X'-^-=.', T=j-^\ Z-=z-Y, l'équation

t figurer l'émanant (contrevariant double) de G, repré-

SUR LES STJHPAOKS AtOÉBllIÛOES. 1R7

sentera la surface du second ordre passant par les points M et M', et par les courbes de contact des cônes ayant ces points pour sommets et circonscrits à S,

7. Je me propose, dans nne autre Note, d'appliquer les considérations qui précèdent à l'étude des systèmes composés de surfaces de deuxième et de troisième classe.