MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE

Journal de Mathématiques pures et appliquées ;

i. Je supposerai, dans tout ce qui va suivre, les différentes figures que j'aurai à considérer rapportées à un système de coordonnées rectilignes quelconque.

Soient une courbe arbitraire C tracée dans un plan, el M un point quelconque de ce plan; j'appelle x et y ses coordonnées.

Menons du point M une tangente à la courbe, et soit /c le coefficient angulaire de cette tangente; la quantité /: (qui généralement est susceptible de plusieurs valeurs) est une fonction des coordonnées variables x et y.

Cette fonction, il est facile de le voir, ne peut être prise arbitrairement et doit satisfaire à une équation aux différences partielles linéaire et du premier ordre, qu'on peut établir de la façon suivante.

Appelons, pour un instant, X et Y les coordonnées courantes de la tangente menée du point M à la courbe; son équation sera

Pour que les différentes droites représentées par cette équation^ lorsqu'on y fait varier x et y, enveloppent une courbe, il faut et il suffit que la droite obtenue, en remplaçant le point M par un point infiniment voisin, coupe la première en im point fixe, quelle que soit la direction du déplacement; il est clair, d'ailleurs, que ce point fixe est le point de contact de la tangente avec la courbe. Différentions successivement l'équation (i), par rapport à X

el y, en supposant X et Y constantes ; il vient

D'où, en éliminant X — x entre ces deux relations,

d^ ^ dk dx ^ dy

Telle est l'équation aux différences partielles à laquelle doit satisfaire la fonction k^ pour qu'elle représente le coefficient angulaire d'une tangente menée du point (a;, y'} à une courbe quelconque tracée dans le plan.

Cette équation a pour intégrale générale

la caractéristique / désignant une fonction arbitraire de la variable ;

et telle est, en termes finis, la relation à laquelle doit satisfaire k.

Il est facile de trouver directement cette relation. En effet,

étant l'équation de la tangente menée du point M à la courbe, y — kx est l'ordonnée du point où cette tangente coupe l'ase des y\ la valeur de cette ordonnée ne dépend évidemment que de la valeur de k. On a donc

y-kx=f{k).

%. Lorsque la courbe donnée est algébrique, /(A) est généralement une irrationnelle susceptible de m valeurs et racine d'une équation algébrique de degré m. Cette équation est d'ailleurs irréductible si la courbe ne se décompose pas en courbes de degré inférieur.

k satisfait donc à une équation de la forme

(a) A„(7 - kxr-^ k,{y ~ k^y'-'+.. .+ K,-,(y~kx) + A„= o,

Afl, Ai, . . ., Am désignant des poljnomes entiers en /r d'un degré quelconque.

Le nombre m indique combien on peut mener de droites tangentes à la courbe el parallèles à une direction donnée. Quant à

la classe de la'courbe, elle est indiquée par le degré en k de l'équation précédente, degré qui est généralement égal à m, mais qui penl lui être supérieur lorsque la courbe est tangente à la droite de l'infini.

Ce cas particulier mis de côté, on voit que, dans l'éqaation (a), A(| est un nombre que l'on peut supposer égal à l'unité, et A), A3, . . ., A^ des polynômes entiers en k et respectivement des degrés i,"a, . . ., m.

Si, pour rendre l'équation homogène, nous posons

on voit que la relation précédente peut être mise, pour une courbe de classe n, sous la forme

(3) I +"'^"~''(a^^-^pV + 7K^)C^r-t^^)"-^ + ---.

ou encore, en réunissant dans un même terme les coefficients de la même puissance de î^,

dX'î-i- nbl"-^ |j.H i^ ~ cl"-^[i.- — . . .+ nhlji."--' -\- /iij."= o.

3- La relation précédente, qui, pour chaque point du plan, donne les coefficients angulaires des tangentes quel' on peut mener de ce point à une courbe donnée, définit complètement cette courbe.

Je )a désignerai, dans tout ce qui suit, sous le nom ^iquation mixte de la courbe.

Une telle équation s'écrira de la iaçon suivante :

F désignant une fonction homogène et entière, mais du reste entièrement arbitraire, des trois variables que comporte son

expression; ou encore, en mettant seulement en évidence les variables \ et [a,

/ désignant une fonction homogène de ces variables.

Le plus souvent, pour mettre en évidence les coefficients du poljnome /'()>, [>■), j'emploierai la notation commode de M. Cajley, en désignant par

(«,&.c, ...p,H)" ie pol;ynome

en sorte que l'équation mixte générale des courbes de la classe n sera

4. II est facile de passer de l'équation d'une courbe en coordonnées tangentielles à son équation mixte. En effet,

étant l'équation d'une droite quelconque tracée dans le plan, l'équation langentielle d'une courbe est la relation, homogène par rapport aux trois variables,

à laquelle doivent satisfaire ^, ï] et Ç pour que la droite soit tangente à la courbe. Si l'on déduit de l'équalion de la tangente la valeur de son coefficient angulaire et la valeur de l'ordonnée au point où ell^ coupe l'axe des y, on obtient les deux relations suivantes

d'oii

en substituant ces valeurs de ^, -t; et ^ de l'équation précédente, il ■vient

équation de la courbe donnée.

Dans le plus grand nombre de cas, il sera plus commode de calculer directement l'équation mixte d'une courbe, que de la tirer de son équation langentielle. Mais je veux déduire, de ce qui précède, une conséquence très simple qui nous sera utile par la suite.