Soit

i'équation mixte d'une courbe de classe n.

n est clair, d'après ce qui précède, que a, b, c, , . . sont des fonctions de ic et dey qui ne peuvent être choisies arbitrairement; et, en effet, /{\ p) étant une fonction de Cky — [J^^)) l'on doit avoir identiquement

On doit, dans la plupart des questions qui se présentent, avoir égard aux relations entre les coefficients qui résultent de l'équation précédente, et l'élude de ces relations conduit elle-même à des résultats dignes d'intérêt; mais, dans un grand nombre de cas, — et ce sont ces cas particuliers que j'étudie spécialement dans ce Mémoire, — ■ on peut, pour ainsi dire, les laisser de côté, ou da moins ne les faire intervenir que d'une façon indirecte.

8. La proposition fondamentale, sur laquelle je m'appuierai constamment dans ce qui suit, peut s'énoncer ainsi :

Propositiom. — Soit un nombre quelconque de courbes représentées par les équations mixtes

Ml, ^) = o, /,(X, ix) = o, /,(À, ,x) = o

Si l'on considère un inçariant quelconque 1 des formes fts, /i, Ji, . . ., l'équation

représente une courbe dont le degré est précisément égal au poids de Vinvariant.

Démonstration. — Je rappellerai brièvement ce qu'oQ r poids d'un invariant. Si, dans les formes données, on remplace l'une des variables, X par exemple, par \t, l'invariant relatif aux nouvelles formes que l'on obtient ainsi est égal à l'invariant primitif I, multiplié par une certaine puissance de \ ; l'exposant de cette puissance est le poids de l'invariant.

Ceci posé, mettant en évidence toutes les variables dans les équations mixtes des courbes, écrivons-les sous la forme suivante :

F(|(),, fi, \y — ]ix) = o, F,(X, ,1, V-H'^) = o,

Si, dans les polynômes qui forment les premiers membres de ces équations, nous remplaçons respectivement x ^l y par tx et ly, nous obtenons les poijnomes suivants :

Le nouvel invariant 1' déduit de ces formes, comme I l'était des premières, contient t à une puissance dont le degré est celui de la courbe représentée par l'équation

Posons mainlenant

ly — fj.^ = >■', 'ky + \is:- |i',

en effectuant ime substitution linéaire dont le déterminant

est indépendant de t.

On déduit delà

et les formes précédentes deviennent

KdL''L tL

rSS

L'invariant I", relatif à ce système de formes et analogue à 1', lui est égal, à un facteur près, qui, étant une puissance de déterminant w de la substitution, est indépendant de t.

Dans I", t entre évidemment à un degré égal au poids de l'invariant; la proposition est donc démontrée.

Remarque I. — La démonstration précédente suppose que les coefficients des polynômes JaÇk, \>-), /t {X, ^i.), . . . ont la forme la plus générale (compatible avec les relations nécessaires qui existent entre eus). Dans des cas particuliers, le degré de la courbe représentée par l'équation

peut s'abaisser; mais alors la droite de l'infini fait partie de la courbe.

Remarque II. — Ce que je viens de dire s'applique aux covariants que l'on peut déduire des formes

Les équations que l'on obtient en égalant à zéro les différents coefficients d'un covariant représentent des courbes d'un degré égal au poids de ce covariant.

9. J'ai cm devoir, pour plus de clarté, employer dans ce Mémoire les coordonnées rectilignes.

Si l'on voulait employer les coordonnées triangulaires symétriques, il suffirait, dans les formules précédentes, de rétablir l'homogénéité en introduisant une troisième variable s.

Rien n'est à changer, si ce n'est la signification géométrique qu'on doit attribuer à l' équation mixte de la courbe. Mais il est, je crois, inutile d'insister sur ce sujet.