SECTION II
PRorniÉTÉs SES goshbes se troisième; classe.
10. Considérons une courbe de troisième classe K', et soit son équation mixte.
La forme U n'a qu'un invariant; c'est le discriminant
D = (ïS rfî -i- 4 «c' + 4 «ifts 3 6= c2 — 6 a*c£/. L'équation
est, comme nous l'avons vu, l'équation en coordonnées cartésiennes de la courbe K^; elle est du degré 6, ce nombre étant le poids du discriminanl.
Pour obtenir les points de rebroussement (le K^, il faut cbercher les points du plan pour lesquels l'équation
a trois racines égales.
Considérons le covatianl
les conditions nécessaires et suffisantes pour l'égalité des trois racines de l'équation (i) soQt les suivantes :
équations de trois courbes du quatrième ordre (n"8, Rem. II).
Les g points de rebroussement de K' sont donc les points communs à ces trois courbes.
Il est clair qu'on peut trouver une infinité de courbes du quatrième ordre passant par ces 9 points. Pour avoir leur expression générale, considérons, en même temps que la courbe K^, une courbe de seconde classe arbitraire K^ et dont l'équation mixte soit
Posons
1= k{bd — c^)-'B{ad — bc)-\- C(nc — 6ï) (■).
I est uu invariant des formes U et V, de poids égal à 4- L'équation
représente donc une courbe du quatrième ordre 3'; ell (') Salmon, Algèbre supérieure, p. 170.
B: AKALYTIQUI. 197
demmenl satisfaiie quand on pose
bd — c-'^o, ad — bc = Q, ac~b^=o; elle passe donc par les g points de rebroussement de R'.
H. Cherchons direclement les points où elle coupe cetie courbe. Pour tout point de K', l'équalion (i) a deuK racines égales, et, en vertu do la propriété fondamenlaîe des invariants, on peut supposer que la valeur commune de ces racines soit zéro, ou bien poser
I devient alors égale à
pour que celle quantité s'annule, il faut que l'on ait
c'est-à-dire que le point pris sur K^ soît un point de rebroussement, ou bien que
c'est-à-dire que la tangente menée en ce point à K' touche aussi K*.
La courbe 3' rencontre donc K' aux 9 points de rebroussemcnt (chacun de ces points complanl pour deux, comme on le savait a priori) et aux 6 points de contact des tangentes communes à R' et à R».
D'où la proposition suivante :
THÉoitÎLME. — Étant données une courbe de troisième classe R' et une courbe de seconde classe R*, les 6 points où les tangentes communes à ces courbes touchent R' et les 9 points de rebroussement de R' sont sur une même courbe de quatrième ordre 3^.
12. Si l'on prend au hasard, sur K', 5 points a, ces 5 points et les 9 points de rebroussement de la courbe déterminent une courbe du quatrième ordre qui rencontre R' en un sixième point p. D'un autre côté, les 5 tangentes menées à R* par les points a déterminent une courbe de seconde classe R^ ; R' et R' ont une sixième tangente commune. Son point de contact avec R^, étant.
sur une courbe du quatrième ordre passant par les 5 points i. et les 9 points de rebroussement, se confond avec p.
D'où le lliéorème suivant, réciproque de la proposition précédente :
Théorème. — Si par les 9 points de rebroussement d'une courbe de troisième classe K.', on mène une courbe quelconque du quatrième ordre, cette courbe rencontre K* en Q points (' )■ distincts des points de rebroussement; les tangentes menées à Y^^ par ces 6 points touchent une même conique.
13, La conique K^ peut se composer d'un couple de points P et Q. La courbe 3' passe alors par les 6 points de rebroussement de K' et les 6 points de contact des tang^enles qu'on peut lui mener des points P et Q. Je dis, de plus, qu'elle passe par ces points eux-mêmes.
En efTet, pour l'un quelconque de ces points, la tangente menée de ce point à K^ est indéterminée ; l'équation
est satisfaite identiquement, et l'on a
Mais, dans ces hypothèses, I s'annule évidemment; la proposition est donc démontrée.
En se reportant au paragraphe précédent, on déduit de là le théorème suivant :
Théorèmb. — Étant pris sur une courbe de troisième classe K* 3 points a, a' et a", tels que les tangentes en ces points concourent en un même point A, toute courbe du quatrième ordre qui passe par les 9 points de rebroussement de K" et les 3 points a, a' et d' passe par le point A; elle rencontre K= en 3 autres points, et les tangentes en ces points se coupent en un même
(') Ces points sont, en général, disti fondre avec quelques-uns de ces demie:
point B, qui est également situé sur la courbe du quatrième
1-4. Menons, dans le plan de R^, une droite qiielconqne A, les tangentes menées à la courbe aux 6 points a, où elle est coupée par A, touchent une même conique K^ qui est la polaire de A.
Dans ce cas, la courbe du quatrième ordre 3^ passant par les 6 points de contact a qui sont en ligne droite, il est clair que cette courbe se décompose en la droite A et une courbe du troisième ordre S{? passant par les g points de rebroussement. Cette courbe, d'ailleurs, est complètement déterminée, puisque par les points de rebroussement d'une courbe de troisième classe on ne peut faire passer qu'une courbe de troisième ordre, et elle demeure toujours la même, de quelque façon que l'on cboisisse la droite A.
Son équation est facile à obtenir; considérons, par exemple, la conique polaire de la droite de l'infini, et soit
son équation mixte; d'après ce que je viens de dire, on voit que l'équation
i(bd — c^) ~ q^ad— bc) + i)(ac — b'--) = o
s'abaisse au troisième degré; c'est précisément l'équation de la courbe S^.^.
15. Si la droite A est tangente à la hessienne de K', sa conique polaire se compose de 3 points; ces a points, d'après ce que j'ai dit ci-dessus (n" 13), se trouvent sur 5', qui, dans ce cas, se compose de la tangente à la hessienne et de la courbe Jl'. Comme ils sont en dehors de la droite, ils se trouvent nécessairement sur ^^ ; on retrouve ainsi cette proposition bien connue de M. Caylej :
Le lieu des couples de points gui constituent les coniques polaires des tangentes à la hessienne d'une courbe de troisième classe est la courbe du troisième ordre qui passe par ses gpoints de rebroussement.
16. On peut encore supposer que la conique K- se réduise à un point double.
Soient ^ etTi les coordonnées de ce point; son équation mixte
ou, en posant, pour abréger, y — -t^^^Y et x — ^ = X, (~Y,XÏX,,.)> = o.
D'où, pour l'équation de la conique R^ (considérée comme point double),
(YS-XY,X = JX, [x)^=o.
On a alors
I ^ (ac — b^jX^-hiad— i>c)XY -h {bd — c^)Y^,
expression dans laquelle, si l'on considère X. et Y comme les variables, on reconnaît immédiatement le covariant quadratique deU.
L'équation
représente une courbe du quatrième ordre 3' qui passe par les 9 points de rebroussement de R' et qui louche celte courbe aux points de contact des tangentes issues du pointdonné; on voit, de plus, à l'inspection de l'équation précédente, qu'elle a ce point pour point double, et que les coefficients angulaires des tangentes au point double sont les racines de l'équation
obtenue en égalant à zéro le covariant quadratique de U. On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théoeëme. — Si, par un point donné M, on mène les tangentes à une courbe de troisième classe K*, on peut tracer une courbe du quatrième degré 3' gui passe par les g points de rebroussement de R*, touche cette courbe aux 3 points de contact des tangentes et a le point M pour point double.
17. On sait que l'on peut, de différentes façons, partager les 9 points de rebroussement de R' en 3 groupes de 3 points, O) , a^, et «3, Ôf, bi et 6â, c,, c^ et c^, de telle sorte que, dans chacun de ces groupes, les tangentes à la courbe concourent en un même
HËMOIILE DE QÉOUÉTRIE A\ALyTiaUE. SOI
point. Soient A, B, C les points de rencontre correspondanV aux groupes précédents.
Supposons que laconique K* se compose du point A pris 2 fois; 2 des points de rencontre de S' avec K* viennent se confondre alors au point «t, et, comnie 2 de ces points s'y trouvaient déjà confondus, on trouve en tout 4 points d'intersection réunis au point a,. D'où l'on conclut que 3' a ce point pour point double; comme le môme raisonnement peut être fait relativement aux points Ui et «3, et comme d'ailleurs {voir n° IB) 3* présente un point double en A, l'on voit que cette courbe du quatrième ordre a 4 points doubles; elle se résout donc en un couple de coniques.
On déduit de là les propositions suivantes {') ;
Soient «), a^ et ag i points de rebroussement d'une courbe de troisième classe K', tels que les tangentes en ces points concourent en un même point A; si, par les points a,, «j, «3, A et par un cinquième point de rebroussement 6, on mène une conique, cette conique ÎB rencontre K.^ en 2 autres points de rebroussement de la courbe b^ et 63, et les tangentes aux points bi, b^ et b^ concourent en un même point B quise trouve également sur la conique H.
Les 3 autres points de rebroussement C) , c^, C3 de la courbe sont également sur une conique C, qui passe par les points «), Oa, «a, A et par le point C, où se coupent les tangentes de rebroussement aux points c, c, et c^.
En désignant par m, n, p, q 4 points situés sur une conique, appelons pour un instant rapport anharmonique de ces points fe rapport anharmonique du faisceau suivant lequel ces points sont vus 'd'un point quelconque de la conique, et désignons-le par la notation
Cela posé, en désignant par p et p^ les deux racines Imaginaires de l'unité, on a, en considcrant les points a,, «j, (ïj, b,, b^, b,.
{ ' ) Comme le développement de ces questions se rattache plutôt à la Géométrie pure qu'i la Géométrie analytique, j'ai, pour abréger, supprimé quelques démonstrations que le lecteur rétablira facilement.
A, B, situés sur la conique jD, les relations suivantes :
R(A,B; «1,03) = pi,
et les relations analogues que l'on obtient en permutant entre eux les points «,, ai et a^.
Pour les points situés sur la conique C, on a de même les relations
J'ajouterai encore la remarque suivante :
Si, par les points A, B, C et deux points de rebroussemenl d'un même groupe, tels que «, et a^, on fait passer une conique, le pôle de ia droite a, a^ relativement à cette conique est le troisième point de rebroussement du groupe, c'est-à-dire «3.
Le dcveloppemenl des relations qui ont lieu entre les points de rebroussement d'une courbe de troisième classe donnerait lieu à quelques remarques intéressantes; mais ce n'est pas ici le lieu de les exposer. M, Hesse a déjà donné d'élégantes propositions sur ce sujet dans te Journal de Crelle ( t. 36).
18. Parmi le grand nombre de propositions particulières que l'on peut déduire de la proposition du n" 11, je me contenterai de donner la suivante :
Considérons un point de rebroussement r de la courbe R" et une courbe du (quatrième ordre composée de la tangente de rebroussement en ce point et d'une courbe du troisième ordre passant par les 8 autres points de rebroussement r'. La tangente en r rencontre la courbe en i points ix distincts du point r, et les tangentes en ces points concourent en un même point p situé sur la courbe du troisième ordre Sl^ qui passe par les g points de rebroussement.
En appliquant la proposition déjà citée, on aura le théorème suivant :
Si, par les 8 points r', on mène une courbe quelconque du troisième ordre, cette courbe coupe K' en 2 points distincts
des points t'' ; les tangentes menéesen ces points à K' se coupent sur la tangente de rebroussement au point r. La courbe du troisième ordre passe en outre par ce point de rencontre et par le point p, qui est ainsi le neuvième point fixe, commun à toutes les courbes du troisième ordre qui passent par les 8 points r'.
19. Considérons maintenant deux courbes de troisième classe K' et K'^, et soient
V = (a, b, c, d'i\, il)==ro
et
leurs équations mixtes.
Ces deux courbes ont 9 tangentes communes, et l'équation mixte générale des courbes de troisième classe, qui touchent ces g droites,
est
U-HpU'=0,
p désignant un paramètre arbitraire.
20. Pour éviter d'inutiles répétitions, je transcrirai d'abord le Tableau suivant des divers invariants des formes U et U' :
D = a^d'-hiac^-hidb'—'ib^c^ — eabcd,
D'=a'^d'°--\-ia'c'^ + 4d'b'^~ib'^c'^ — &a'b'c'd',
H = d'(a^d ■+■ 7.b''—5abc ) — 3c'(6=c + abd — ^ac^)
-^-3bXib^d—bc^—acd) — a\3bcd— ad'— ■!«'), Il'=d{a'sd'-i-iib''—3a'b'c') — 'îc(b'H'-i-a'b'd'—ua'c'^)
-V~ib{7.b-^d'—b-c-^—a'c'd:)-~-a{Zb-c'd'^a-d"'—-ic'^), I =2(ac — i')(6'd'-c'') + 2(ô<i— c')(a'c'— 6'')
— {ad~bc) {a'd'— b'c'), J =: ad' — 36c'-i-3c6' — da',
R =(ady—g{ad')Hbc')-h-i7{ca'y{cd-) + 'ij{db'nab')
— Si{ab')(bo'){cd')~iijiad')(ab')(cd) (').
21. Les plus importants de ces invariants sont d'abord Ses deux
l'usage, par les symboles (ad'), (ab'), . da', ab' — ba',
discriminants D ei C; en les égalant à zéro, on a les équations cartésiennes des deux courbes K^ et K" ; l'équation d'une courbe quelconque du troisième ordre K-p, tangente aux 9 tangentes communes aux. 9. premières, s'obtiendra en égalant à zéro le discriminant de
U-1-pU';
elle peut se mettre sous la forme
(2) D + 2pIH-p'(J^ — CI) + 2p^H'-hp'D'r=o.
22. Le Tableau précédent renferme deuK combinants R et J. R est le résultant des deux formes U et U' ; l'équation
représente évidemment l'ensemble des 9 tangentes communes aux deux courbes, droites qui toucbent aussi toutes les autres courbes du faisceau.
Pour nu point de rebroussement de K', l'équation U = 0 ayant trois racines égales, on peut supposer
dans ces hypothèses, R devient
— d'a'^, et J devient
pour tout point de rebroussement de K", on a donc
(3) R-Ji'^o;
si maintenant on remarque que, R et J, étant des combinants, ne changent pas de valeur quand on y remplace U par U + pU', on en conclut que l'équation précédente représente le lieu des points de rebroussement de toutes les courbes du faisceau. Ceci suppose que l'on n'ait pas identiquement
Je reviendrai plus loin sur ce sujet.
ÎIÉJÎQIRE DE GÉOMÉTRIE ANALÏTigtiE. 3o5
23. Considérons une courbe de troisième classe K' et ses g tangentes de rebroussenient; on peut inscrire, dans le polyg'one formé par ces g droites, une infinité de courbes de troisième classe qui, tontes, auront les 9 premières tangentes pour tangentes de rebronssement. Le lieu des points de rebronssement se confond alors avec les tangentes elles-mêmes, et l'on a
D'où cette conséquence reraatqnable :
Si deux courbes de troisième classe ont les mêmes tangentes de rebroussement, l'invariant J relatif à ces deux courbes est identiquement nul.
Réciproquement, si cet invariant est identiquement nul, les deux courbes ont mêmes tangentes de rebroussement.
24. Cette proposition peut s'énoncer de la façon suivante ponr les courbes du troisième ordre :
Si, par les g points d'inflexion d'une courbe du troisième ordre, on fait passer un faisceau de courbes, ce faisceau détermine sur une sécante fixe quelconque une division en involution.
Chaque groupe de 3 points de cette involution peut être considéré comme déterminé parles racines d'une équation de la forme a^" + ^bx^-\- 3c!e + d -+■ p(a' x^--^- 3l/'x^ -h ic'x -h d') = o;
cela posé, l'invariant
ad' — 3 6c' ^- 3 cb' — da'
est toujours nul, quelle que soit la position de la sécante.
