Si l'on égale à zéro l'invariant H, l'cqualion

représente une courte du sixième ordre, 5C*.

Pour trouver les points de rencontre de cette courbe avec K', faisons

11 se réduit alors à

Celte quantité s'annule pour

donc la courbe JC* passe par les points de rebroiissement de K" et elle la tonclie en ces points, puisque chaque point d'intersection doit compter pour 3.

Celte quantité s'annule e

donc SZ" passe par les 9 points de contact des tangentes àK'etàK'^

Les courbes SZ" et K' n'ont d'ailleurs, évidemment, aucun autre point commun.

Laissons la courbe K'' fixe, et remplaçons la courbe K' par la courbe variable Kp, dont l'équation cartésienne est

(2) D-t-apH-H p!(J5 6r)H-2p3H'-4- piD'=o;

la courbe que je viens de considérer est remplacée par une courbe Kp, dont l'équation est

(3) H-hp(J2— 6I)-i-3p=H'-+-2p^D'=o;

les courbes Kp et Kp se rencontrent :

i" Auxpoinlsdecontactdes tangentes communes à K'^ et à Rp ;

2° Aux points de rebroussement de Kî, chacun de ces derniers comptant trois fois.

Si l'on élimine la vai-îable p entre les équations précédentes, l'équation obtenue en égalant le résultant à zéro représente donc :

i" Les 9 tangentes communes aux courbes Kp ;

2" Le lieu de leurs points de rebroussement de ces courbes, ce dernier lieu étant pris 3 fois.

Remarquons maintenant que, le premier membre de l'équation (3) étant la dérivée par rapport à p du premier membre de l'équation (2), !e résultant de ces deux équations est le discriminant de {2).

Ce discriminant ne peut donc différer que par un facteur constant du produit