Cette valeur s'annule ; I» Quand l'on a

Donc la courbe SC"'""" passe par les n^ points, où les tangentes communes aux courbes du réseau touchent K". 2" Quand on a

C'est ce qui a lieu pour les points doubles de K"; car, en ces points, l'équation

outre !a racine double égale à zéro, a une autre racine double que l'on peut supposer infinie ; mais on a alors

et par conséquent

puisque, dans ce cas, l'équation

(c,rf k,il}.,iiy-^^o

a aussi une racine double.

3= Quand on a

Donc la courbe considérée passe par les points de rebrousscment de K", et, comme ces points comptent trois fois, la courbe lui est tangente en chacun d'etis.

Nous avons ainsi tous les points d'intersection des courbes R" et oe"'""". Chacun des points doubles de K." doit, en effet, être compté au moins deux fois. Or le nombre total des points d'intersection est [n(n — i)]^, ou m-, si l'on pose

D'après une formule de Plilcker, on a

en désignant respectivement par d et par /■ le nombre des points doubles et des points de rcbroussement de K". On en déduit

m^ = m -i- n -i- 'id -h 3 r = n'' -h id -h 3 r.

Les m^ points d'intersection se composent donc :

1° Des n^ points de contact des tangentes communes à K."

elK'";

2° Des d points doubles (chacun d'eux étant compté deux

fois);

3° Des r points de rcbroussement (chacun d'eux étant compté

trois fois),

28- Quelques remarques sur les résultats précédents ne seront pas inutiles.

On sait que les points d'intersection des deux courbes de degré n(« — i), K" et X"!""'' ne sont pas indépendants entre eux; en