L. - II. i

conservant les mêmes notations que ci-dessus ( ' ),

de ces points sont déterminés par les autres.

De même les tangentes communes aux deux courbes de classe rt, K" et K.'", ne sont pas non plus indépendantes entre elles;

d'entre elles sont déterminées par les autres.

Les denx nombres précédents sont éganx, car ils indiquent tous deux le genre de la courbe K". On déduit delà la proposition

Etant donnée une courbe de n classe K", si l'on mène une courbe quelconque de degré n(n — i), qui passe par les points doubles de K" et la touche en chacun de ses points de rebroussement, cette courbe rencontre R" en n* points distincts de ses points singuliers; les tangentes menées à K", en ces n^ points, sont tangentes à une autre courbe de même classe.

29. Considérons maintenant le faisceau de courbes considéré plus baul (n" 26). Soit K, l'une quelconque des courbes de ce

faisceau, cl

son équation mixte. En désignant par F(p) le discriminant de cette équation (discriminant pris par rapport à î^ et u),

est l'équation cartésienne de Kp, La courbe 3e"'"-'J relative à K" a

( ' ) Clebsch et GoRDAN, Th. Tioii der Abelschert Functionen, p. 35.

Soit W le discrim

àp);

nt de F(p) (discriminant pris par rapport W = o

est le résultai de l'élimination de p entre les deux équations précédentes. Nous obtenons ainsi l'enveloppe des courbes du l'aisceau; d'autre pari, en se reportant à ce que j'ai dit dans le n° 27 sur l'intersection des courbes JC"'"-" et K", on volt que cette enveloppe se compose :

i" Des n^ tangentes communes;

3° Du lieu des points doubles des courbes du faisceau, ce Heu étant compté deux fois;

3" Du lieu des points de rebroussement de ces courbes, ce lieu étant compté trois fois.

Si donc on désigne respectivement par

les équations du système des tangentes communes, du lieu des points doubles et du lieu des points de rebroussement, on a

w" = a0^iit» (I).

Du poids connu des invariants B et 1S, on conclut que le lieu des points doubles des courbes du faisceau est du degré

et le lieu des points de rebroussement du degré 3n(n — a).

30. Je reviens maintenant au cas spécial d'un faisceau de courbes de troisième classe- L'équation générale d'une courbe de ce faisceau est (2) D^2pH-i-p5(J^— 'iI)^-2p'H'-Hp*D'=o;

et l'on voit que par chaque point du plan passent quatre courbes du faisceau.

Il est facile de trouver les coefficients angulaires des tangentes

(1 ) On déduit de là une proposition par M. Saimon, d'après M. Cajiey, j p. i49 de l'édition anglaise).

iipoi'taote sur les formes binaires donnée " L {High Algebi-a,

à ces courbes au point donné. En effet, en désignant pour un instant par

les éqnalions mixtes des courbes K^ et K'^, l'équation

/().,,x) + pç(î., f.) = o,

où X ety ont été remplacées par les valeurs des coordonnées du point, détermine les tangentes menées de ce point à une courbe quelconque du faisceau. L'ensemble de ces tangentes forme un faisceau d'involution, et les droites doubles de cette involution sont précisément les droites cherchées ; on les obtient, comme l'on sait, en égalant à zéro le Jacobien des deux formes / et tp, et l'équation qui donne des coefficients angulaires des tangentes est

'if

Si l'on met en évidence les coefficients de U et de U', cette équation devient

X = (6ab'—ba'), Z(ac'—ca'),

ad'—da'-i-3bo' — 3cb', 3{bd'~db'), 6(csr— (ic')îjX, |i)*= o;

et si l'on désigne par S et T l'invariant quadratique et l'invariant cubique de la forme X, on a

J et R ayant la même signiiication que dans les numéros précédents.

31. Par un point quelconque M du plan passent, comme nous l'avons vu, quatre courbes du faisceau. Voyons comment on peut déterminer le rapport anharmonique des tangentes à ces courbes en ce point. Soit k ce rapport anharmouiqoe, si nous posons

X sera racine de l'équation

ANALYTTOTE.

S et T désignant, comme précédemment, l'in et l'invariant cubique de T.

Si l'on remplace S et T par les expressions données ci-dessus, on obtient l'équation

(3) Jo[(=4--i)(2^-5)^]-4(J'-aR)'(^->)^=".

32. Si nous supposons que la valeur du rapport anharmonique k soit donnée, l'équation précédente est l'équation du lien des points tels que les quatre courbes du faisceau, qui se croisent en ce point, aient un rapport anharmonique donné.

On voit que ce lieu se compose de deux courbes du neuvième degré

Réciproquement, toute courbe dont l'équation est de la forme

«RH-pJ3=o,

a et j3 désignant des constantes, représente une courbe telle qne les quatre courbes du faisceau, qui se croisent en chacun de ses points, ont un rapport anharmonique constant.

Les cas particuliers les plus remarquables sont les suivants ;

1 " Si le rapport est harmonique ; on a alors

et le lieu se réduit à la courbe du neuvième degré, dont l'équation est

2° Si le rapport anharmonique est égal à une racine imaginaire de l'unité négative ; on a alors

et le lieu se réduit à la courbe du troisième degré, dont l'équation est