Les résultats précédents supposent que J n'est pas iden
ai4 oÉosiiiBrE.
tiquemeiit nul. Nous avons vu que ce cas se présentait lorsque les courbes du faisceau avaient mêmes tangentes de rebroussement. L'équation (3) donne alors
D'où cette conséquence :
Si l'on considère les courbes de troisième classe qui ont les mêmes tangentes de rebroussement, par tout point du plan passent quatre de ces courbes, le rapport anharmonique de ces quatre courbes est constant, quelle que soit la position du point, et égal à une racine imaginaire de Vanité négative.
34. J'ai montré (22) que l'équation du lieu des points de rebroussement des courbes de troisième classe, qui forment un faisceau, était
Ceci suppose toutefois que cette équation n'a pas lieu identiquement. Ce cas peut effectivement se présenter. Soit
M = ia,b,c, dix 1^)^ = 0
l'équation mixte d'une courbe de troisième classe K^; soient Ç, vi les coordonnées d'un point M du plan, dont l'équation mixte sera
si l'on pose pour abréger
-ï=y-^ et X = x^l
Considérons le faisceau de courbes de troisième classe, dont l'équation est
[a, b,c,dl}., |j)3-i-p(y3, XY^, — S'Y, X'IX, \>.y = o,
p désignant un paramètre arbitraire.
Pour abréger, je poserai
et
g{\,^)^{a^d-^ib^—'i.abc)\^^....
ANALYTIQUE. ai5
A(ï., |ji) et gCk, [a) sont, comme on le voit, le covariant quadratique et le covariant cubique de /{^, [^); (je n'ai écrit que le premier terme de leur développement).
Cela posé, on voit îmmédlalemenl que l'équation
représente l'ensemble des tangentes que l'on peut mener du point {k, vj) à la courbe; que R et J sont respectivement égaux à /a(X, Y) et/(X, Y); la relation
est donc satisfaite identiquement.
Résultat facile à prévoir, car l'équation (2) devient dans ce cas
W D + 5p^(X,Y)+pH/CS,Y)p=o,
Le discriminant de cette équation (considérée comme étant du quatrième degré) est évidemment nul, puisqu'elle a deux racines égales à l'infini; d'autre part, on sait que ce discriminant est égal, à un facteur numérique près, à
R(R-JS)3;
on devait donc trouver R — J'= o.
Si l'on égale à zéro le discriminant de l'équation (4) (considérée comme une équation du second degré), on obtiendra l'équation de l'enveloppe des courbes du faisceau. Cette enveloppe ne comprendra pas les tangentes communes servant de base au faisceau, parce que les courbes les touchent en des points fixes; elle se réduira donc au lieu des points de rebroussement qui devra être compté trois fois.
Donc le discriminant de l'équation (4) est un cube parfait; et, en effet, il a pour valeur
^^(X,Y)-D/nX,Y),
quantité qui, d'après un théorème bien connu de M. Cayley, est égale à
Le lieu des points de rebroussement est donc la courbe du sixième
degré, dont l'éqiiation est
SECTION iri.
pkophiétbs des coumes de quatiieème classe.
35, Soit une courbe de quatrième classe K* et
son équation mixte. La forme U a deux invarianis fondamentaux S et T, dont je transcris ci-dessous les valeurs,
S —ae — ^bd-h^c^,
T ~ace-\--ibcd — ad^—eb^—cK
Ces invariants étant respectivement d'un poids égal à 4 et d'un poids égal à 6, les équations
représentent respectivement des conrbes du quatrième et du sixième ordre. Ces courbes, que j'appellerai S' et G", jouissent des propriétés remarquables déjà signalées par M. Clebsch (').
Pour trouver les points de rencontre de S' et de K', faisons, dans S, a et & égaux à zéro, S devient alors égal à
celte quantité s'annule pour c = o, et ne s'annule que dans i cas. Donc la courbe §'' passe par les 24 points de rebrousseme de la courbe K'' et ne coupe la courbe qu'en ces points. Dans les mêmes bjpothèses, T se réduit à
d'oii cette conséquence :
La courbe S" touche K' en chacun de ses 24 points de rebroussement et n'a d'ailleurs aucun point commun avec elle.
Ainsi les points de rebroussement de K* sont les points d'intersection des deux courbes S' et G^.
(') Ueber symboiische Darstellung algebraischer Fornten (Crelle, t. 59).
36. Par chaque point M du plan, on peut mener quatre tangentes à R^. Cherchons le rapport anharmonique de ces tangentes. Soit k ce rapport anharmonique. Si nous posons
nous voyons, comme au n" 31 , que z est racine de l'équation
S et T ajant la même signification qu'au paragraphe précédent. L'équation
où a et p désignent des constantes arbitraires, représente donc le
lieu d'un point tel que les tangentes menées de ce point à K*
forment un faisceau ayant un rapport anharmonique donné.
Les cas particuliers les plus remarquables sont les suivants :
i" Quand /f = o, d'où s i= oo ; on obtient alors
c'est, en coordonnées cartésiennes, l'équation dé la courbe K' ;
2° Quand k^ — i , d'où 3 = 2; le rapport est alors anharmonique, et î'cquation se réduit à
la courbe S" est donc le lieu des points tels que les tangentes menées à la" courbe forment un faisceau harmonique;
3° Quand /f^p, p étant une racine cubique de l'unité négative; on a alors z — 1^0, et l'équation se réduit à
la courbe %'' est donc le Heu des points tels que le rapport anharmonique des tangentes menées à la courbe est égal à une racine cubique de l'unité négative.
37. Pour étudier les points doubles de la courbe K', considérons en même temps une autre courbe de quatrième classe K''', dont l'équation mixte soit
I = ae'—i6d''i-ecc'—4db'-hea',
— a6'(6e — C(f) + <i'(ce — rfs).
I et J sonL deux invai-iants des formes U et U'.
Si nous égalons à zéro le nouvel invariant ii^aS.T — 3TI, comme cet invariant est d'un poids égal à lo, l'équation
(i) aSJ — 3TI = o
représentera une eourbe du dixième degré X'".
Pour avoir les points de rencontre de cetle courbe avec R^,
a — o et b — o.
£i devient alors
6c«(— 3c=c'-t-26'crf-t-«'ce — a'rf2)-(-3c3{6cc'— 4rfi'+ea'),
ou, en réduisant,
Zc^a'i^ce — idr).
Celle quantité s'annule :
donc A'" passe par les i6 points de contact des tangentes communes aux courbes K' et K" ; 2° quand l'on a
donc Al'" passe par les aS points de rebroussement de K', chacun de ces points comptant pour deux, comme on le savait a priori; 3" quand l'on a
ce qui a lieu aux points doubles de K^ ; en effet, pour ces points, l'équation
outre la racine double égale k zéro, a une autre racine double que
UEUOIRE DE OEOUETRIE ANALYTIQUE. 2ig
l'on peut supposer infinie, ce qui revient à poser
auquel cas l'expression précédente s'annule.
Chacun de ces 28 points doubles doit d'ailleurs évidemment être compté deux fois.
On a aussi tous les points d'intersection de K.' et de .A,'", car ces points sont au nombre de 120, et l'on a bien
D'où la proposition suivante ;
Théorème, — • Elant données une courbe de quatrième classe K^ et une autre courbe arbitraire de même classe K'^, les i6 points où les tangentes communes à ces courbes touchent K' et les 52 points singuliers de K* sont situés sur une même courbe du dixième degré X'".
38. Les 120 points d'intersection des courbes A'" et K,' ne sont pas indépendants entre eux ; comme on le sait,
sont déterminés parles autres.
Des 16' points d'intersection distincts des points singuliers de K', i3 suffisent donc pour déterminer les autres; remarquons maintenant que les i3 tangentes en ces points suffisent pour déterminer aussi 16 tangentes communes à K^ et à un faisceau de courbes de quatrième classe.
De là résulte le théorème suivant :
Si, par les 52 points singuliers d'une courbe de quatrième classe^", on fait passer une courbe quelconque du dixième ordre, cette courbe rencontre K* en 16 points distincts des points singuliers; les tangentes menées en ces 16 points à K^ touchent une autre courbe de quatrième classe.
(•) Cf. Cllbsch et GOIIDAN, loc. cit.
39, La courbe de quatrième classe K'^ peut se décomposer en une courbe de classe inférieure et en un. point ou en un système de points. On démontrerait, comme au n" 13, que la courbe X* " passe par ces points.
En particulier, si &" se résout en un système de 4 points, on a la proposition suivante :
Si, par 4 points (a), on mène des tangentes à une courbe de quatrième classe K.*, les i6 points de contact des tangentes et les 52 points singuliers de la courbe sont situés sur une même courbe du dixième ordre A'", qui passe par les 4 points (a).
^0. Lorsqu'on coupe une combe de quatrième classe K' par une droite A, les tangentes, aux la points de rencontre de A avec K,*, touchent une même courbe de troisième classe K'', qui est la polaire de A.
Adjoignons à cette dernière courbe un point arbitraire M; l'ensemble de R' et M constitue une courbe de quatrième classe.
La courbe Jl.'* correspondante passe par les points de contact des tangentes communes à K' et àK% c'est-à-dire par les 12 points de rencontre de A avec K' ; elle contient donc cette droite tout entière, et se résout en la droite A et une courbe du neuvième ordre Tlli^. Cette courbe passe d'ailleurs parles Sa points singuliers de R', les 4 points de contact des tangentes menées de M à R' et en outre par ie point M (C/. n° 39).
On peut donc énoncer les propositions suivantes :
Théouême 1. — Si d'un point M pris dans le plan d'une courbe de quatrième classe R', on mène des tangentes à la courbe, les 4 points de contact et les 52 points singuliers de R* sont situés sur une même courbe du neuvième ordre, qui passe en outre par le point M.
Théorème IL — Si, par les 5a points singuliers d^une courbe de quatrième classe R', on mène une courbe quelconque du neuvième ordre, cette courbe rencontre R^ en ^ points distincts des points singuliers, les tangentes en ces points à la courbe R' se coupent en un même point M, qui se trouve sur la courbe du neuvième ordre.
