MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
■il. On peut choisir la droite A de telle façon que sa polaire se décompose en une conique et un point ro; nous prenons, du reste, le point M arbitrairement dans le plan. La courbe X'" se compose alors delà droite A et de la courbe ïl\>^ correspondante au point M; d'après ce que nous avons vu, le point m doit se trouver sur X'", et, comme il est en dehors de la droite A, il est nécessairement situé sur lis.».
On trouve dans le plan 21 points tu, qui sont évidemment caractérisés par la propriété que les tangentes que l'on peut mener de chacun d'eux à K' ont leurs 4 points de contact en ligne droite; ces 2 I points se trouvent donc sur la courbe t(',>^, quelle que soit la position du point M.
D'où la proposition suivante ;
Théorème. — Toutes les courbes du neuvième ordre qui passent par les ^2, points singuliers d^ une courbe de quatrième classe passent en outre par 21 points fixes; ces points fixes sont les points qui jouissent de la propriété que les tangentes menées de chacun d'eux à K* ont leurs points de contact en ligne droite.
i2. Je m'arrête ici dans l'étude de l'invariant ( ' ) aSJ— 3T1;
les théorèmes auxquels cette étude nous a conduits comprennent, dans leur énoncé, tous les points singuliers de la courbe.
Pour étudier en particulier les points doubles de R', je considérerai le covariant du sixième ordre de U,
5 abe — iiacd -h 10 b^d, lob-'e — lod^a, -~5ade-^i5bce-~iobd^, — ae^—'ibde -¥■ gce^~bcd^, 3ciie — 2#— èe'^X, ji/.
Pour que l'équation
(') Je signalerai cependant encore, en p quadratique I est identiquement nul ; alor en une courbe du sixième ordre 9' sur ï8 points doubles de la courbe K' et (es 2
ait deux couples de racines égales, il faut et il suffit que tous les coefficients du covariant V se réduisent à zéro.
Le poids de ce covariant étant égal à 9, en égalant à zéro ses coefficients, on obtient l'équation d'autant de courbes du neuvième ordre, qui toutes passent par les 28 points doubles de la courbe.
43. Considérons en particulier le coefficient deX"[).*, l'équation
représente, comme nous venons de le voir, une courbe du neuvième degré passant par les 28 points doubles de K'.
La forme remarquable de cette équation donne lieu à d'importantes conséquences; on voit, en effet, facilement que
est l'équation du faisceau des tangentes menées à la courbe par le point x^ situé à l'infini sur l'axe des x. De m"emc
est l'équation du faisceau des tangentes menées à la courbe par le point y^ situé à l'infini sur l'axe des y.
Supposons que ces points soient deux points doubles de la courbe; alors a et b seront deux carrés parfaits, et si l'on pose
a = r,. et b = PS l'équation de la courbe du neuvième ordre deviendra
équation qui se décomposera en deux autres
a.d-^b = o et
Dans ce fait analytique se trouve l'origine des beaux théorèmes donnes par Steiner sur les points doubles des courbes de quatrième classe ('); mais, pour en développer toutes les consé-
(') Il est presque inutile d'ajoulei' c|ue Steiner les a énoncés pour les tangentes doubles des courbes du qualriéaie ordre.
quences, il est nécessaire d'étudier plus coniplèleraenl le covariant V.
44. Considérons, en même temps que la courbe R'', une conique quelconque K^ dont l'équation mixte soit
(A, B, G|X, ti)î= o.
De cette forme et du covariant V on déduit l'invariant suivant :
-i-(abe — iacd-h3b^djAC^-i-(/iabe — i'iacd-h8b"-d)B^C -i-6(ad^~ b^e) ABC -h 4(ad^ — b^e)B^ — (ade — 3bce -^ ibdî)A^Q — (iade — iibce + Sbd^)AB^-h{o.e'-i-ibde — Qc^e-i-6cd')BA.^ {be^—3cde -+■ id')K^.
Cet invariant étant d'un poids égal à 9, l'équation
représente une courbe du neuvième ordre 3". i" Lorsqu'on fait
H = o ei b = o, I se réduit à
(9.fP—^ce)(3Bc ~ A.d)A^;
cette quantité s'annule pour
donc îa courbe 3* passe par les 28 points doubles de K^. Elle s'annule aussi pour
donc 3' touche K^ aux 8 points de contact des tangentes communes à K^ et à K*.
2" Considérons les 8 tangentes communes à K' et à K^; ces droites se coupent en aS points. Pour chacun de ces points, les équations
(a,b,c,d,el\t.)^ = o et
(A, B,C|X, fi)==o
communes, qu'on peut supposer égales rcspecti-
Yement à zéro et à l'infini, ce qui revient à poser
I s'annule dans cette liypollièse; donc la courbe 3^ passe par les points de rencontre des 8 tangentes communes. De là résulte la proposition suivante :
TnÉoRiiME. — Etant données une courbe de quatrième classe Ji.^ et une courbe de seconde classeK.^, on peuC construire une courbe du neuvième ordre 3*, qui passe par les 28 points doubles de R', par les 38 points de rencontre des 8 tangentes communes àK." et à K^, et qui touche K' aux points de contact de ces tangentes.
45. Pour calculer l'équation de la courbe 3", nous pourrons toujours supposer que, par une substitution linéaire des variables, on ait mis le polynôme qui, égalé à zéro, donne l'équalion de la conique K^ sous la forme
par la même substitution, le polynôme qui, égalé à zéro, donne l'équation de la courbe de quatrième classe K^, deviendra (X,'US>, G,©, CiJX, [1)4.
La valeur de l'invariant I, relative ans deux formes précédentes, est, à un facteur numérique près,
si l'on désigne par to le déterminant de la substitution employée, on aura, en vertu de la propriété fondamentale des invariants, à un facteur numérique près,
l'équation de la courbe 9^ sera donc
46. Supposons la conique K* composée du système des deux points M et M', dont les coordonnées sont respectivement
MÉMOIEE DE GËOMÉTOin ANALÏTIQUE. a3J
Posons, pour un instant,
L'équation de la conique K- (ou de l'ensemble des deux points) est
(- YX-t- X|i)(— Y'X-i-X'[t) = o.
Faisons la substitution snivante,
X =X'V— X,i', ii = Y'V— Y|;.', dont le déterminant est
u. = XY—YX'.
Par celte substitution, l'équation des points M, M' devient
si l'équation mixte de K' est
F(X,,.) = o, eetle équation devient, après la transformation,
F(X'X'-X^(', Y'X'— Y/) = o, ou, en développant,
4> et $' désignant deux polynômes entiers en X, Y, X', Y', dont on peut se dispenser d'écrire la valeur.
Les quantités 0, X, ilSi, (B, C étant ainsi déterminées, on en déduit
expression qui, malgré la présence de w en dénominateur, est un polynôme entier en X, Y, X' et Y'.
Si les points donnés M et M' sont deux points doubles de la courbe, comme les équations
représentent respectivement les faisceaux de tangentes menées de
ces points à la conrbe, les polynômes F(X, Y) et F{X', \') sont des carrés parfaits; cL, si l'on pose
F(X, Y) = WS F(X',Y')= W'5,
J'éijuation de la courbe 3^ devient
S" se décompose ainsi, comme nous le verrons tout à l'heure, en une courbe du troisième ordre et une courbe du sixième ordre.
Remarque. — Il est clair que, si la courbe K^ a une tangente double pour chacun des points où cette tangente coupe la courbe, le polynôme
est un carre parfait; on peut donc appliquer la proposition précédente, soit à un couple de ces points, soit à un de ces points et un point double.
47, Oo sait, depuis les beaux travaux de Stelner et de M. Hesse, qu'une courbe de quatrième classe peut être considérée (et cela de soixante- trois façons différentes) comme i'enveloppe de coniques qui lui sont quadruplement tangentes. ■ Si
A = o ei, B = o
sont les équations tangentielles de deux coniques d'un de ces groupes, l'équation de la courbe K' peut se mettre sous la forme
en désignant par
lequation d une troisième conique.
En se reportant à ce que j'ai dit au n° 5, on voit immédiatement que c'est aussi la forme de l'équation mixte de la courbe, si l'on
soient les équations mixtes de trois coniques. Soient respectivement
(2) aA=+2p„Xn-HYofi5=o,
(3) Ao)>5-l-3Bo).[)L-i-Co[i'=o
ces équations mixtes.
L'équation mixte de la courbe de quatrième classe K' sera
} = ( AoX^-H 2B0X11 -1- Go fi^y ; ou bien encore, si l'on pose
aX^ -+- afiXjj + c ]i* = («jX^-H îèjXp: -i- Cl) |j,^)
-t- 2p(AA^-l- ■'.B„X[H- Gajiî) -+- p-5(aoX2-j- 2p(X|i + fofiS),
ffX= -H2pXfi +Y1^^ = (<io>-*H- 2&oX(i-i-eoti2)
+ 2e(A„X!+2BoX|Ji-l-Ga(i!), ■+■ 8' (aoX' + 3 Po V -1- ïo t^'),
AXs-+-2BX[j; + G[i= = ((ït,X'-t-2Z'oX|JH-cofi')
+ (p + 6) (A„X!+ aBcXfi + C„ ji^) -+-pe(doX=-+-2§oX|i + Y<.iJ-^),
9 et p désignant deux paramètres variables arbitraires,
(rtXî4-2iXii + Cii=)(aXî-i- 2pX,u-H-f|f.^) = (AX^H- îBXii-h C^[^)'.
Les équations
(5) <tX^+26X[i + <!ii= = o
(6) aX2+apX.-t + 7[i^=o
représentent deux quelconques des coniques du groupe quadruplement tangentes à R^ ; les 8 tangentes aux 8 points de contact des deux coniques touchent une troisième conique, dont l'équation
(7) AX2-+-aBX[i-i-GiA:
On peut donner à p sis valeurs telles que la conique représentée par l'équalion (i) se décompose en un système de 2 points; ces points sont évidemment des points doubles de la courbe, et l'on obtient ainsi les la points doubles qui appartiennent au groupe considéré.
48. Ce qui précède peut être présenté d'une façon plus nette en employant les considérations exposées par M. Aronliold dans son Mémoire Sur les courbes du quatrième ordre {').
On sait qu'en général trois courbes de seconde classe quelconques peuvent être considérées comme les polaires de trois droites du plan par rapport à une certaine courbe de troisième classe.
Les courbes déterminées par les équations {1), (2) et (3) sont ainsi les polaires de trois droites relativement à une courbe de troisième classe bien déterminée K" {^).
Soient
les équations de ces droites.
La conique déterminée par l'équalion (0) est k polaire de la
droite
i' + apP + p^ra^o;
toutes les droites déterminées par cette équation, lorsqii'on y fait varier 0, enveloppent une conique C dont l'équation est
De ià les conséquences suivantes :
i" Toute droite tangente à la conique C^ a pour polaire, par rapport à K', une conique quadrupiement tangente à K* et appartenant au groupe considéré.
2° Si l'on considère deux droites tangentes à C, leurs coniques polaires sont quadrupiement tangentes à K' ; les 8 tangentes menées aux points de contact touchent une même conique, qui
( ') Comptes rendus mensuels de l'Académie de Berlin, juin 1864. (') Voir Hebbtite : Sur le résultant de trois /ormes quadratiques ternaires {Journal de Crelle, t. 57).
