B2 - AC
et effectuons la substitution
X =(v'Â-B)X'-i-(/S:-v-B}it', H — AV — A |j.',
propre à réduire à un rectangle la forme AX^4- aBXjj. + C[a^, et qui a pour déterminant
Soient
a'X'-f-ap'X^ + Yy
ce que deviennent respectivement, après la transformation, les formes
AX^-+- aBX|i -1- Cji^, (tX^-f- 2fiX|J; 4- Cj!^, ak'-h a^Xji ■+- fn'. Les équations mixtes des courbes K^ et K' deviendront
(a'X'+?,//X|i-+-c'ii2)(=!'X2+2JÎ'>.^ + 7'ii=) — B''XV^=o,
et l'équation, en coordonnées cartésiennes, de 9^ sera, d'après ce que j'ai dît plus haut,
ou encore
s3o UrÉOMÉTRIE.
50. En effectuant les calcuis, on trouve B' = aAA, 6'-= A(2Bi — Cd — Ac), ^'= A(aBp-Ca-AY).
Mettons maintenant l'équation précédente sous la forme suivante <8) m-'B'^B'ia'Y- c'c<')[&'n«'T'- P'=) ~ p'H«'c'- &'=)] = o. Je remarque que le déterminant
est un invariant des trois formes (5), (6) et (7); on a donc
On a de même
■■S'-fy^=„,^ay—p^) et a' c' ~ b'^ = <,>^ (ac - l
d'où
= A=t.3[(?.B6-Ga-Ac)(=!Y-p^)-(--îBp-Ga-AY)(<Tc-è')]. Remplaçons, dans l'équation (8), tu, B', ... par leurs valeurs ; elle deviendra, toutes réductions faites, |A B CI
aie x[(2Bft-C(i— Ac)3(hy— ^') — (aEp— Ca — Ay)î(ac — iî)] = o, U P ïl
51. Avant d'examiner la relation précédente, il est bon de revenir sur quelques points de la théorie des sections coniques. Considérons trois coniques
p, ™, P, et soient, comme ci-dessus,
(a, b. clX, i^y=o, («, ^, y!X. i')^= o, (A, b, CÏX, ,.)= = o leurs équations mixtes.
ilÉniOlHS DE SËOMÉTRIB A
Les invariants fondamentaux de ce système de formes sont : i" Les discriminants
qui, égalés à zéro, donnent les équations cartésiennes des coniques ; 3° Les invariants simultanés quadratiques
AY-hCa — îB^, Ac-t-C<i — 2Bi, a-( -\- ca — ^bp.
L'équation
A-f + Ca— îB^ = o
représente une conique; de chacun des points de cette courbe les tangentes menées aux deux coniques P elci forment un faisceau harmonique.
L'équation des tangentes communes à P et à ro s'obtient en égalant à zéro le résultant des formes
(a,(i,fîX;[^)^ et (A,B,CiX,,.^)^.
D'après \m beau théorème de M. Boole, cette équation peut se mettre sous la forme
(A-f + Gc<-..Bp)î-4(a-;-ps)(AC-Bs)^o.
Les invariants Ac + Ca — zBb et af -i- ca. — 2b^ ont une signification analogue relativement aux systèmes de coniques P, p etp, ra.
3° L'invariant gauche G, dont la valeur est
L'équation
représente une courbe de troisième ordre; c'est évidemment lieu des points tels que les tangentes menées de ces points e trois coniques données forment un faisceau en involution.
Il est clair qu'on peut remplacer une de ces coniques par i; quelconque des courbes dont l'équation est
p, 9 et œ désignant des constantes arbitraires.
Celte courbe jouît d'un grand nombre de propriétés remarquables qui sont daes, pour la plupart, à M, Cayley,
52. D'après le résultat auquel je suis parvenu dans les ii°^ 49 et 50, on voit que, dans le cas considéré, la courbe S'* se décompose en une courbe de troisième ordre Q', dont l'éqnatton est
et une courbe de sixième ordre Q°, dont l'équation est
(aB& — G<i — Ac)a(af — JÎ2) — (3Bp — Ca — Af)=(ao — &») = «,
53. Etudions d'abord la courbe Q'; pour abréger le discours, j'emploierai les expressions suivantes :
J'appellerai coniques F^ les différentes coniques qui sont les polaires des droites du plan relativement à la courbe de troisième classe K' ; les coniques F^ forment un réseau.
J'appellerai coniques G* les coniques qui sont les polaires, par rapport à K', des droites tangentes à G^; ces coniques G^ sont des positions particulières des coniques F^, chacune d'elles est quadruplement tangente à K^.
D'après ce que j'ai dit plus haut, on voit que la courbe Q* peut être définie par les propriétés suivantes :
Si l'on prend d'une façon quelconque trois coniques F^, le lieu des points d'oit l'on voit ces coniques suivant un faisceau en involution est la courbe Q".
Etant données deux coniques quelconques F^, les points de rencontre des tangentes communes à ces deux courbes sont situés sur Q'.
Etant donnée une conique quelconque G^, les quatre tangentes aux points oà cette courbe louche K' se coupent en 6 points situés sur Q' .
La courbe Q' est le lieu des couples de points qui font partie des coniques F^.
Elle passe par les ii points doubles de K^ qui appartiennent au groupe considéré.
E OÉOUÉTRIË ANALYTIQUE. îSî
La courte Q^ est la corréîalive de la coiirbe désignée par G dans le Mémoire de Steiner,
54. La courbe Q^, qui passe par les la points doubles du groupe, est complètement déterminée et ne dépend pas de la coniqne K=.
Il n'en est pas de môme de la courbe Q^.
La courbe 3^, qui se compose des courbes Q^ et Q", devant passer par les 28 points doubles de la courbe el Q^ ne contenant que 12 de ces points, les 16 autres sont situés sur Q^.
L'équation de cette courbe peut se mettre sous la forme suivante ;
[{3n6-Ca-Ae)^-'i(A-C-B^)(ac-é=)](«y-p^)
D'où, si t'on se reporte à ce que j'ai dit plus haut (n" 51), les conclusions suivantes, qui concordent d'ailleurs avec ce qui a été établi généralement pour la courbe 5' :
Théouème. — Étant données deux coniques quelconques p et CI, qiiadruplement tangentes à K^ et appartenant au groupe considéré, les quatre tangentes aux points de contact de p rencontrent les quatre tangentes aux points de contact de ra en i&points; ces 16 points et les 16 points doubles, qui n'appartiennent pas au groupe, sont situés sur une même courbe du sixième ordre, qui passe en outre par les 4 points d'intersection des coniques p et tu et touche K.' aux 8 points oà cette courbe est touchée par les coniques.
