Reprenons l'équation de Q
et supposons que chacune des coniques jo et ra se réduise à un couple de points (qui seront des points doubles du groupe). On aura alors
V étant l'équation de la droite qui joint les deux points en lesquels
î34 GJÔû^rÉiiiiE,
se résoul la conique ra; on aura de même
ac — b^—'W^, et l'équation précédente deviendra
(îBft — Ac — CaS)V2=(ïBp — Af — CM)nVî;
la courbe Q" se décompose, dans ce cas, en deux courbes da troisième ordre analogues à Q^ et dont les écjnations sont
(2Bi — Ca-Ac)V-i-(2B^ — Ca — Ay)W = o, (aB6 — Ca— Ac)V — (aB^ — Ca — Ay)"W" = o.
56, Soient d et dl un couple quelconque de points doubles d'une courbe de quatrième classe K*; ces points définissent un groupe de 12 points doubles (G), dont ils font eux-mêmes partie, et les 12 points du groupe sontsitués sur une des courbes du U-oisième ordre de Steiner. i
Soit i un troisième point double de la courbe; je supposerai, pour simplifier la démonstration, que d el d' soient respectivement les points situés à l'infini sur l'axe des x cl sur l'axe des y, et que A soil l'origine des coordonnées.
Cela posé, l'origine étant un point double, en faisant dans l'équation mixte de K^
le résultat doit être un carré parfait; cette équation est donc de la forme
(|j.3^ — Àj)i-i-.î(aX-i-(5ii')(l'3^ — >-^)'-H6(<iXî + aûî.[H-c|i')(ii^ — ?,/)* -h4(AX3+3BXV-)-3CX^l3-hD|x»)([A3! — X^)=
-+- (PXa+ 2QX;i-l- RliS)' = o,
Vx^+ iÇlxy + R j'S;^ y étant l'équation des tangentes menées à la courbe par le point A,
Les points situés à l'infini sur l'axe des :c et sur l'axe des ^j' étant des points doubles de la courbe, les coefficients de 'k'- et de u' dans l'équation précédente sont des carrés parfaits, et l'on peut poser, par exemple,
MEMOIRE DB OÉOMÉTRIK ANALYTIQUE. s3i
d'où, en particulier, on déduit la relation suivante,
(10) Pî^î— R=A" = o.
Les coefficients de 4^^[J^ et de /i')-\>.^, dans l'cqiiaiion mixte de K', sont respectivement
et
RQ + 3 Ck- — D/ — 3 cœ;/ -i- 3 6j:>2+ a a?3 — 3 ^^îj' — .J-^/.
Il résulte de là, et de ce que j'ai dit plus haut, que l'équation de la courbe Q" est
iy^ — i,ay + A)
x(RQ-4-3Ga^— Djf' — 3 asy -1- 3 ôa;* -H aa^a — 3 ^x^y — a^^y)
X (PQ — 3B^ -t- Aa; — 3<i3y + 367'— pj' + 3aa;/'— 7'3^) = o,
el l'équation de Q'
X (RQ ^- aCar — Dy — 3c;r7 + 3è:c2^-a^3 3^3;îj a:a j,) -(jrs + a^a^ + A)
>: {PQ — 3Jiy + A.X ~- 3a3;y -t- 3ùy^~ ^x'-i- 3a3^y^—y>x) = o.
Celte dernière équation est en apparence du sixième degré; mais, en vertu des relations (9), ce degré s'abaisse au troisième.
57. Les premiers membres des équations précédentes, quand l'on y fait
; réduisent respectivement à Q(/iR-i-/:P)
Q{AR — /rP).
De l'équation (10) il résulte que l'une des quantités précédentes est nulle ('); le point A se trouve donc sur la courbe Q' ou sur la courbe Q*.
Il est clair, d'après ce que j'ai dit précédemment, qu'il se trouve
icdes quantités P, Q, R n
sur Q'' s'il fail partie du groupe (G), et sur Q" dans le cas contraire.
Dans le premier cas, l'on a
AR-ZcP =o;
or c'est là la condition nécessaire pour que les six droites représentées par les équations
soient tangentes à une même conique; et, d'ailleurs, ces droites sont les tangentes que l'on peut mener à la courbe par les trois points doubles A, B, C.
D'où cette propriété due à Steiner :
Si le point A appartient au groupe (G), les 6 tangentes que l'on peut mener à la courbe des points d^ d' et A touchent une même conique.
38. Supposons maintenant que le point A n'appartienne pas au groupe (G); on a alors
/(R + /fP = o;
soit r Tune quelconque des tangentes menées du point C à la courbe, et
son équation ; l'cquatlon de la seconde de ces tangentes T' sera
Appelons To la conjuguée harmonique de T' par rapport aux deux axes c/A et è/'A, l'équation de cette droite sera
l'ensemble des droites T et 1',, ayant pour équation L'égalité
