DANS LA GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

Nouvelles Annales de MaShémaliques; iS-j^. I. — GÉNÉRALITÉS SUR LES SURFACES A GÉKÉRATBICES CIRCULAIRES.

1, On sait, depuis les travaux de Poncelet, que tous les cercles tracés dans un. même plan passent par deux points flxes imaginaires situés sur la droite de l'infini. Je désignerai par T et J ces deux points remarquables que, dans une Note publiée dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences {janvier i865), j'ai proposé de nommer ombilics du plan. J'appelle droite isotrope toute droite du plan considéré qui passe par l'un des points I et J; l'ensemble de ces droites forme deux systèmes bien distincts, l'un composé de droites parallèles entre elles et passant par le point I, l'autre de droites également parallèles et passant par le point J,

Par tout point d'un plan passent deux droites isotropes de systèmes différents, dont l'ensemble forme un cercle de rayon nul. Dans un plan réel, toiilc droite isotrope renferme un point réel et n'en renferme évidemment qu'un; c'est le point où elle coupe.la droite isotrope qui lui est imaginairement conjuguée (^).

(') Une Xote do J'auteor, suc le injme sujet, a paru Jaiis le joui-nal L'Inslilul, a' 1898.

(') Je dis que deux points sont imaginairement conjugués, lorsque leurs coordonnées, prises par rapport à un système d'aies réels quelconque, sont des quantités imaginaires conjuguées. Un point réel est à lui-même son conjugué.

Deux courbes sont imaginairement conjuguées, lorsque les équations de chacune d'elles se déduisent des équations de l'autre en changeant le signe du symbole imaginaire i.

Une courbe réelle est à elle-même sa propre conjuguée.

s l'espace, î3g

Sj, par un point fixe, réel ou imaginaire, on mène divers plans, chacun de ces plans contient deux droites isotropes passant par ie point fixe. Les droites ainsi obtenues sont situées sur un même cône du second degré, que l'on peut aussi considérer comme une splière de rayon nul ayant pour centre Je point fixe et qui jouit de toutes les propriétés de la sphère. Ainsi, par exemple, toute section plane de ce cône est un cercle, et le centre du cercle est le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet du cône sur le

Je désignerai sons le nom de cane isotrope le cône ainsi formé |iar toutes les droites isotropes qui passent par un môme point, 'Tous les cônes isotropes coupent le plan de l'infini suivant une même conique, commune à toutes les sphères tracées dans l'espace et que l'on peut appeler V ombilicale .

Par une droite, on peut généralement mener deux pians tangents à l'ombilicale; j'appellerai ces plans plans isoti-opes. Le couple de plans isotropes, passant par une droite donnée, est coupé par un plan perpendiculaire à cette droite suivant deux droites isotropes. Par une droite isotrope, on ne peut faire passer qu'un seul plan isotrope, puisque cette droite coupe le plan de l'infini en un point de l'ombilicale.

2. Ces définitions établies, concevons un point imaginaire de l'espace a, et le point a' qui lui est imaginairement conjugué. Par chacun de ces points passe un cône isotrope; les deux cônes ainsi obtenus se coupent suivant un cercle réel A, dont le plan est perpendiculaire à la droite réelle qui joint les deux points imaginairement conjugués a et a'; le centre de ce cercle est le point réel O, qui est le milieu du segment aa' , et, la distance Oa étant représentée par lli, son rayon a pour valeur la grandeur réelle R,

Il est clair que les deux points imaginaires a et a' déterminent complètement le cercle A; réciproquement, étant donné le cercle réel A, par ce cercle on ne peut faire passer que deux cônes isotropes dont les sommets sont les points a et a'. La position de ce cercle dans l'espace détermine donc complètement ces deux points.

Je dirai que le cercle réel A, ainsi déterminé, est le cercle représentatif du couple de points imaginaires a et a', couple que je désignerai par la notation (A); réciproquement, le cercle A,

déterminé comme précédemment par ies deux points a et a', sera

désigné par la notation (a, a').

Le cercle A ou {«, a!) représente ainsi l'ensemble des deux points imaginaires conjugués a et a' ; dans certaines questions, il est nécessaire de pouvoir distinguer ces deux points l'un de l'autre. A cet effet, on peut imaginer que le cercle A soit décrit dans un certain sens par un point mobile; le sens dans lequel il sera suppose décrit déterminera celui des deux points a et a! dont il sera la représentation. Afin de fixer les idées, supposons que dans un système de coordonnées quelconque, mais d'ailleurs réel, les coordonnées d'un point m soient respectivement

le sens dans lequel on supposera décrit le cercle représentatif du point m sera tel qu'un spectateur, ayant l'œil placé à l'origine des coordonnées, voie le point mobile, décrivant le cercle, se mouvoir dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre ou en sens inverse, suivant que la quantité att -\- b ^ -\- cy est positive ou négative.

Il est évident d'ailleurs que, si cette quantité a un signe donné pour le point m, elle aura le signe contraire pour le point imaginairement conjugué m', dont les coordonnées sont

3. Dans la plupart des recherches de géométrie, on a à considérer, par couples, des points réels ou qui ne sont pas imaglnairement conjugués. J'étendrai à ce cas les notions établies précédemment. Ainsi, a el b désignant deux points quelconques de l'espace, je désignerai par (a, 6) le cercle qui résulte de l'intersection des cônes isotropes ayant pour sommets ces deux points; ce cercle sera généralement imaginaire et ne deviendra réel que dans le cas, examiné précédemment, où les points considérés sont imaginairement conjugués. De même, G désignant un cercle quelconque de l'espace, je dénoierai par le symbole (C) les deux points qui sont les sommets des cônes isotropes passant par ce cercle.

Â. Considérons dans l'espace une courbe géométrique quelconque, réelle ou du moins (pour le moment je me restreindrai à

s LA QÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE. a4l

ce cas de beaucoup le plus intéressant) définie par des équations réelles; c'est-à-dire telle que, lorsqu'elle passe par un point imaginaire, elle passe également par le point imaginairement conjugué. Étant donné un cercle réeS de l'espace, ce cercle représente un couple de points imaginairement conjugués; et, pour qiie ces points appartiennent à la courbe donnée, il est nécessaire que le cercle satisfasse à certaines conditions déterminées par la nature de la courbe et dont l'étude forme, pour ainsi dire, un prolongement géométrique de la théorie de celte courbe elle-même. Pour éclaircir ces considérations générales et montrer les diverses questions auxquelles elles se rattachent, j'en ferai tout d'abord, et avec quelques détails, l'application aux courbes gauches qui résultent de l'intersection d'une sphère et d'une surface du second ordre, en m'appujant sur les propriétés connues des surfaces anallagmatiques .

5. M, Moutard a appelé surfaces anallagmatiques du quatrième ordre des surfaces qui peuvent être regardées comme l'enveloppe de sphères mobiles qui coupent orthogonalement une sphère fixe, tandis que leurs centres décrivent une surface du second-degré; dans tout ce qui suit, je les désignerai simplement sous le nom de surfaces anallagmatiques ; leur degré, qui est, en général, le quatrième, peut d'ailleurs s'abaisser au troisième, lorsque la surface lieu des centres des sphères mobiles est un paraboloïdc, et même au second, puisque les surfaces du second degré sont comprises dans la famille des surfaces anallagmatiques.

La définition donnée ci-dessus peut être légèrement modifiée de la façon suivante. Étant donnés une sphère fixe S et un plan quelconque P coupant cette sphère suivant un cercle (1, on peut, par ce cercle, faire passer deux cônes isotropes. Soient p et p' les sommets de ces cônes; ces deux points, qui, d'après ce que j'ai ditci-dessus, pourraient être représentés par la notation (C), sont réciproques par rapport à la sphère S; pour abréger le discours, je dirai que ces deux points sont associés au plan P et, réciproquement, que le plan P est le plan associé aux points^ et p' (').

(■) Voir, Bulletin de la Société philomatliique (mars 18G8), ma Note siu' les

Cela posé, on peut définir une surface anallagmaliqne doonée R comme le lieu des points associés, par rapport à une splière fixe S, des différents plans que l'on peut mener tangentieîlemenl à une surface du second degré A. L'intersection des surfaces S et A esl une biqiiadratique F qui est l'une des cinq focales de la surface; les quatre autres focales correspondent aux quatre modes de génération dont la surface est susceptible ('), En chaque point m de la surface anallagmatique, la normale passe par le point où le plan associé au point m touche la surface A.

Soit G une génératrice recliligne de cette dernière surface, et soient a, a' les points où cette génératrice s'appuie sur la focale F. On voit facilement que, tandis que le plan mobile qui sert à décrire la surface se déplace le long de la droite G en tournant autour de cette droite, les points associés au plan tangent dans ses diverses positions décrivent un cercle; et ce cercle est précisément l'intersection des deux cônes isotropes ayant pour sommets les points a et a', cercle qiie nous pouvons désigner par la notation (a, a'). A chaque génératrice rectiligne de A correspond donc une génératrice circulaire de R; et, comme chacun des plans tangents à la surface A passe par une génératrice rectiligne de même système que G, on voit que la surface anallagmatique peut être considérée comme engendrée par les difl'érents cercles correspondant aux génératrices du même système que G, Aux génératrices rectilignes de A, du système différent de celui de G, correspond un autre système de seclions circulaires de R; tes deux systèmes ainsi obtenus forment un groupe de cercles que, pour plus de clarté, je dirai appartenir au mode de génération défini par la focale F, ou simplement à la focale F. A chacun des quatre autres modes de génération de la surface correspond un autre groupe de cercles situés sur la surface et appartenant à la focale définissant le mode de génération considéré. On peut donc définir, de la façon suivante, les surfaces anallagmatiques au moyen de leurs sections circulaires.

Etant donnée une biquadratique sphérique F, si l'on fait passer par cette courbe une surface du second degié quelconque et si,

(') Voir, Bulletin de la Société pbilomathique quelques propriétés des surfaces analIagmBLiques.

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pour chaque génératrice rectilignc d'un système donné de celte surface, on construit le cercle t|ui résulte de l'inlersection des cônes isotropes, ayant pour sommets les points où cette génératrice s'appuie sur la courbe, le lieu des cercles ainsi obtenus est une surface anallagmatique ayant F pour focale; et le système formé par ces cercles appartient à cette focale.

6. Dans ce qui précède, je n'ai fait aucune hypothèse sur la nature de la surface A, non plus que sur sa position relative par rapport à la splièi'e S. Les génératrices reclilignes de A peuvent être imaginaires, ou bien, étant réelles, elles peuvent traverser la sphère et la couper en deux points réels. Dans ces deux cas, les seclious circulaires correspondantes de l'anallagmatique sont imaginaires. Pour qu'un cercle C, correspondant à une génératrice rectilignc, soit réel, il faut et il suffit évidemment que cette génératrice soit réelle et extérieure à la sphère; elle coupe alors cette sphère en deux points imaginairement conjugués de la focale F, et le cercle C est ce que j'ai appelé le cercle représentatif de ces deux points.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Lorsqu'un système de sections circulaires d'une surface anallagmatique, appartenant à une focale F de cette sur/ace, est réel, les points imaginaires représentés par ces cercles sont situés sur la courbe F.

Si l'on imagine toutes les surfaces anallagmatiques, qui ont pour focale une biquadratique sphérique donnée F, et toutes les sections circulaires réelles de ces surfaces qui appartiennent à F, on obtiendra les cercles représentatifs de tous les points imaginaires de la courbe F. En effet, si un cercle C représente un point imaginaire de F, !a droite réelle qui joint les points imaginaires (C), détermine avec la courbe F un hyperboioïde à une nappe, et cet hyperboloïde détermine une surface anallagmatique ayant F pour focale et passant par le cercle C. D'oii la conclusion suivante :

Pour qu'un cercle réel représente un couple de points imaginaires situés sur une biquadratique sphérique donnée F, il faut et il suffit que ce cercle soit situé sur une surface anal-

lagmatique ayant F pour focale et qu'il appartienne au mode de description caractérisé par cette focale.

7. La façon dont j'ai défini an n" 5 les surfaces anallagmatic|ues, au moyen de leurs sections circulaires, s'étend d'eile-naême au cas où ces surfaces ont un plan de symétrie; dans ce cas, l'une des sphères principales se réduit à un plan, ainsi que la surface du second degré correspondante, et les définitions que j'ai données précédemment, la définition comme enveloppes de sphères et la définition par points, deviennent illusoires. Mais, avant d'aborder ce sujet, il est nécessaire d'exposer quelques considérations très simples sur la transformation des figures par rayons vecleiirs réciproques.

Étant donnés un point quelconque a, réel ou imaginaire, et le cône isotrope ayant ce point pour sommet, il est clair que, par une transformation quelconque par rayons vecteurs réciproques, ce cûnc isotrope se transforme en un autre cône isotrope ayant pour sommet le point qui correspond au point a. Si donc on a deux points quelconques a et ô, aii cercle («, Z>) correspondra après la transformation îe cercle (a, P), a et (B désignant les points qui correspondent aux points a et b.

Imaginons une surface anallagmatique comme le lieu des différents cercles (a, a'), (b, b'), (c, c'), . . . déterminés par les points où les génératrices d'une surface du second ordre aa', bb', ce', . . . s'appuient sur une biquadratique sphérique F, et effectuons sur cette figure une transformation par rayons vecteurs réciproques. La courbe F se transformera en une autre biquadratique sphérique *; sur cette courbe 4>, aux points a, a', b, b', ... correspondront des points et, a', P, ^', . . . , et la surface transformée de la surface donnée sera le lieu des cercles (a, a'), (j3, P'), .... D'où l'on peut, en passant, tirer cette conséquence, que les droites aa', p^', '(y', . . . sont, comme les droites aa', bb', ce', . . , , les génératrices d'une même surface du second ordre.

Considérons maintenant une biquadratique sphérique F et une surface du second degré quelconque A, passant par cette courbe. Toutes les génératrices d'un même système de A, telles que aa', peuvent être obtenues en ehoisissanl arbitrairement une génératrice ss' de l'autre système et en menant des plans par cette der-

nière génératrice. Ces divers plans couperont la sphère suivant des cercles passant par les deux points fixes s et s' et chacun de ces cercles coupera la courbe F en deux points variables a et a situés sur une même génératrice de A; le lieu des cercles (a, a') est l'anallagmatique définie par la surface A et la focale F; on peut donc énoncer la proposition suivante :

Si, par deux points fixes s et s", d'une biquadi'atique sphérique F, on mène un cercle variable rencontrant la courbe F aux deux points a et a', le lieu des cercles {a, a') est une surface anallagmatique ayant ¥ pour focale.

Transformons maintenant la figui'e précédente en prenant le pôle de transformation sur la sphère <\m contient la courbe F; la surface anallagmatique donnée se transforme en une surface anallagmati((iie ajant pour plan de symétrie le plan qui correspond à la sphère. La focale F se transforme en une anallagmatique plane "& sur laquelle se trouvent les deux points o- et t' correspondant aux points s et s'; et l'on obtient la proposition suivante :

Si, par deux points fixes u et tr' d'une anallagmatique plane "i», on mène un cercle variable coupant la courbe "I" aux points a et a', le lieu des cercles (a, a') est une surface anallagmatique ayant pour plan de symétrie le plan de la focale 4".

Le second système de sections circulaires appartenant à la

focale <(• s'obtiendrait facilement: en effet, étant mené par o- et par it' uq cercle quelconque coupant la focale en deux points a et a'; si, par ces deux points, on mène un cercle variable rencontrant $ aux points p et p', les différents cercles tels que (p, p') constitueront ce second système de sections circulaires.

Les plans des différents cercles tels que (a, a') ont pour traces, sur le plan de la focale *, les perpendiculaires élevées sur les segments aa' en leurs points milieux. Toutes ces perpendiculaires, il est facile de le voir, enveloppent une conique ayant pour foyers les foyers singuliers de l'anallagmatique $ ('). D'où l'on peut conclure que, quand une série de surfaces anailagmatiques a pour

( ' ) Voir, dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences ( jaii ma Note intitulée : Théorèmes généraua: sur les courbes, etc.

locale eommime une anallagmatiqufi plane, les traces des cylindres enveloppés par les plans des cercles de ces surfaces appartenant à cette focale, sur le plan de symétrie, sont des coniques homofocales ayant pour foyers communs les foyers singuliers de la focale.

8. La proposition précédente n'est, du reste, qu'un cas particulier d'un tKéorème relatif aux anallagmatiques eu généra! et que l'on peut établir très simplement.

Considérons une surface anallagmatique quelconque R, ayant pour focale une biquadratique sphérique F. Les plans des divers cercles de la surface, appartenant à cette focale, enveloppent un cône ayant pour sommet le centre de la sphère S, sur laquelle est située la focale; et ces plans sont perpendiculaires aux diverses génératrices de la surface du second degré A. passant par la focale qui détermine la surface R. Pour trouver les droites focales de ce cône, je rappellerai que ces droites sont les intersections des divers plans isotropes qu'on peut lui mener tangenliellement. Or, les perpendiculaires à un plan isotrope touchant Vombilicale en un point donné w sont les diverses droites isotropes passant parce point correspondant aux plans isotropes tang^ents au cône, donc des génératrices isotropes de A, et réciproquement. Une génératrice isotrope de A doit percer le plan de l'infini en un point de l'ombilicale, et aussi en un point de la trace de la surface A sur le même pian. Soient Q l'ombilicale et a, b, c, d\es quatre points où cçtte courbe rencontre la focale F ; la surface A passant par cette focale, sa courbe d'intersection avec le plan de l'infini est une conique passant par les points a, b, c et d, et il est clair que les génératrices isotropes de A sont les huit génératrices passant par ces quatre points. Les traces, sur le plan de l'infini, des quatre plans qui leur sont perpendiculaires et qui passent par le centre de la sphère, sont les quatre droites menées tangentiellement à l'ombilicale par les quatre points a, b, C et d; les focales du cône sont donc les six droites conjuguées deux à deux qui joignent le centre de la sphère aux divers points d'intersection p. q, r, s, t, u des quatre tangentes. On voit que ces focales sont complètement déterminées par la focale F et ne dépendent en aucune façon de la surface particulière A. On peut donc énoncer cette proposition : Si Von considère une série de surfaces anallagmatiques

homofocales, et si, pour chacune de ces surfaces, on construit le cône enveloppe des cercles appartenant à l'une de ses focales, tous les cônes ainsi obtenus sont komofocaux.

J'ajouterai que les focales de ces cônes sont les focales singulières des cônes ayant pour base la focale de la surface analliigmatiqiie considérée, et, pour sommet, le centre de la sphère sur laquelle celte courbe est siUiée, Mais, pour abréger, je laisse de côté la démonstration de ce point de détail (').

9. Je reviens maintenant au mode de description des surfaces anallagraatiques à plan de symétrie, donné au n" 7, pour montrer comment il s'applique aux surfaces du second ordre. Ces dernières s'obtiennent lorsque la focale, qui, en général, est une courbe anallagmatique plane, se réduit à une conique. Soit donc une conique quelconque C réelle (ou du moins ayant une équation réelle) et a, a' deux points fixes pris sur cette conique. Par ces deux points, menons un cercle quelconque coupant la conique en a et en a'; d'après ce qui a été dit ci-dessus, le lieu des cercles tels que {a, a') est une surface du second ordre ayant pour focale C. D'après un théorème élémentaire bien connu, toutes les droites telles que aa' ont une direction fixe. On peut donc énoncer la proposition suivante qu'il serait très simple, d'ailleurs, d'établir directement :

Si l'on mène, dans le pian d'une conique, une série de droites parallèles à une direction fixe D, en désignant par a et a' les deux points d' intersection de la conique avec une quelconque de ces droites, le lieu des cercles tels que (a, a') est une surface du second ordre ayant pour focale la conique donnée.

Supposons que C soit une ellipse; imaginons toutes le? droites réelles parallèles à une droite fixe D et extérieures à l'ellipse; chacune de ces droites rencontre l'ellipse en deux points imagi-

(') Voir, dans le Bulletin de la Société phitomathique, le n' 4 de lua Conjmuoication du 33 mars 1867 ; Sur les courbes résuilant de l'intersection, d'une sphère et d'une surface du second degré.

nairement conjugués, représentés par un cercle réel; tous les cercles réels ainsi obtenus, quand la droite se déplace, constituent l'un des systèmes de sections circulaires d'un hjperboloïde à deux nappes ajant pour focale l'eltipse donnée. Si le système des droites considéra était parallèle à une droite D' faisant avec le grand axe de l'ellipse un angle supplémentaire de l'angle que faitD avec ce même axe, les cercles représentatifs des points d'iiitersection de l'ellipseavec ces diverses droites constitueraient le second système de sections circulaires de l'hyperboloïde mentionné oi-dessus.

Si nous imaginons l'infinité d'hyperboloïdes à deux nappes qui ont pour focale l'ellipse C, leurs diverses sections circulaires représenteront tous les points imaginaires situés sur cette ellipse. D'où l'on peut conclure le théorème suivant :

Pour qu'un cercle réel, donné dans t'espace, représente un couple de points imagi nairement conjugués, situés sur une ellipse donnée, il faut et il suffit que ce cercle soit une section circulaire d' un kyperboloïde à deux nappes ayant cette ellipse pour focale.

De même :

Pour qu'un cercle réel, donné dans l'espace, représente un couple de points imaginairement conjugués, situés sur une hyperbole donnée, il faut et il suffit que ce cercle soit une section circulaire d'un ellipsoïde ayant cette hyperbole pour focale.

10. Il existe, relativement au système de deux cercles situés sur une même sphère, une propriété très simple, qui a de fréquentes applications dans la géométrie de la sphère et dans la théorie des surfaces anallagmaliques. Je vais l'exposer brièvement, en en supprimant la démonstration, d'ailleurs très facile à suppléer.

Soient deux cercles C et D situés sur une même sphère, et par conséquent se coupant en deux points. Le cercle C représente deux points de l'espace c et c', qui sont réciproques par rapport à la sphère et que l'on pourrait désigner par la notation (C); le cercle D représente de même deux points réciproques d et d'. Les quatre points c, c', d et d' sont d'ailleurs dans un même plan passant par le centre de la sphère. Cela posé, par les deux cercles

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donnés, on peut faire passer deux cônes, et les sommets de ces cônes sont les deux points de rencontre respectifs des droites cd et c'd' et des droites cd' et c' d.

Supposons les cercles C et D réels; supposons-les, en outre, décrits dans un sens déterminé, en sorte que chacun d'eux représente un point imaginaire et un seul-, le point c, par exemple, étant représenté par le cercle C et le point d par le cercle D, La droite imaginaire c(/ est imaginairement conjuguée à la droite c'd'; ces deux droites étant dans !e même plan se coupent en un point réel, que l'on peut définir comme étant le point réel situé sur cd; el, d'après ce que j'ai dit plus haut, ce point est le sommet d'un cône passant par C et D. Mais ici l'on peut ajouter qu'un spectateur, dont l'œil serait placé au sommet du cône, verrait les cercles C et D décrits en sens inverse; en sorte que, si le mobile qui est censé décrire l'un d'eux lui paraît se mouvoir dans le sens des aiguilles d'une montre, le mobile qui est supposé décrire l'autre lui paraîtra se mouvoir dans l'autre sens.

Cette dernière remarque est souvent utile pour fixer le sens que l'on doit affecter à un cercle représentant un point imaginaire.

Considérons maintenant une surface anallagmalique R, définie par la surface du second degré A et la focale F située sur cette surface, el les deux systèmes de génératrices circulaires de l'anallagmatlque appartenant à cette focale. Soit C un cercle fixe de l'un de CCS systèmes, représentant deux points c etc' de la focale; soit D un cercle quelconque de l'autre système, représentant deux points d et d' de la focale. Les cercles C et D sont situés sur une même sphère, et l'on sait d'ailleurs que les droites ce' et dd' sont deux génératrices, de systèmes différents, de la surface A. D'après ce qui a été dit plus haut, les sommets des cônes qui passent par les cercles C et D sont les deux points/' et s, où se coupent respectivement les droites cd' et c'd d'une part, les droites cd et c'd' d'airtre part. Le lieu décrit par les sommets de ces cônes, lorsque, le cercle C étant fixe, le cercle D se déplace sur la surface R, est donc l'intersection des deux cônes ayant pour base la focale F et pour sommets les points c et c'. Ces cônes sont du troisième degré; leur inlerscction, qui est du neuvième degré, se compose d'a'bord de la génératrice ce', de la focale et du lieu cherché; ce dernier est donc du quatrième ordre.

D'où l'on peut conclure la proposition suivante : Etant pris, sur une surface anallagmatique, un cercle quelconque appartenant à une focale F de cette surface, par ce cercle et par un cercle quelconque D du second système circulaire appartenant à cette focale, on peut faire passer deux cônes; le lieu décrit par le sommet de ces cônes, lorsque, le cercle C étant fixe, le cercle 13 se déplace sur la surface, est une courbe du quatrième ordre faisant partie de l'intersection des deux cônes, qui ont pour base commune la focale F et pour sommets les deux points de cette focale que représente le cercle C.

11. Dans ce qui précède, j'ai montré comment on peiU délerminer les conditions géométriques auxquelles un cercle doit satisfaire pour représenter un couple de points situés sur une biquadratique sphérique donnée, en groupant deux à deux les divers points de cette courbe de façon qu'à l'ensemble de tous les couples de points corresponde l'ensemble des génératrices circulaires d'une surface anallagmatique. Chaque mode de groupement est défini par une surface du second ordre, de telle sorte que deux points quelconques de la courbe, qui se correspondent, se trouvent sur une même génératrice de la surface.

Soit, en général, une courbe gauche géométrique quelconque G; imaginons une surface réglée V, telle que chacune de ses génératrices s"appuie en deux points sur cette courbe. Soient <;!«', bb' , ce', ... les génératrices consécutives de cette surface; les cercles {a, a'), (6, b'), (c, c'), . . . engendreront une autre surface, que je dirai dérivée de la courbe G. D'une même courbe donnée on peut ainsi déduire une infinité de surfaces à génératrices circulaires, et chacune de ces surfaces dérivées correspond à un certain mode de groupement des points de la courbe, défini par la surface réglée V.

Lorsque la courbe G est plane, les droites, telles que aa' , bb' , .,., qui joignent les points conjugués de celte courbe, ne forment plus une surface gauche, mais enveloppent une courbe plane, qui peut aussi servir à définir le groupement des points. Dans ce cas, et lorsque la courbe G est d'un degré supérieur à deux, chacune des tangentes à l'enveloppe plane rencontrant G en

plus de deux points, 1! est nécessaire de fixer ceux ries points de reneontre que l'on doit g^rouper ensemble. Pour éviter cette diffi' culte, il est alors généralement préférable de définir chaque couple de points par d'autres considérations ne donnant lieu à aucune ambiguïté, comm« je J'ai fait au n" 7, en traitant des surfaces anallagmatiques à plan de symétrie.

On peut toujours, d'ailleurs, sauf dans le cas très particulier où la courbe plane G est un cercle, effectuer une transformation par rayons vecteurs réciproques, de façon que cette courbe devienne une courbe gauche sphériqne (' ).

12. D'une courbe gauche donnée on peut, comme je l'ai montré, déduire une infinité de surfaces à génératrices circulaires, dérivées de celle courbe.

Réciproquement, étant donnée une surface quelconque à génératrices circulaires, on peut toujours la considérer comme une surface dérivée d'une certaine courbe gauche G. En désignant par C, G', G", ... les diverses génératrices circulaires de la surface, celte courbe est le lieu des points (C), (G'), (C), ... ; et la surface réglée V, qui détermine le mode de groupement des points de la courbe, est le lieu des axes des différents cercles,

13, Parmi l'infinité de surfaces dérivées d'une courbe gauche G, se trouve en particulier la développable isotrope, circonscrite à cette coui'be; j'entends par là la surface développable circonscrite à la fois à l'ombilicale et à la courbe donnée. Tous les plans qui lui sont tangents sont, par conséquent, des plans isotropes, et ses génératrices, comme nous allons le voir, sont des droites isotropes.

Soit m un point quelconque de G; pour construire les génératrices de la surface développable isotrope qui passent en ce point, menons la tangente à la courbe en 7?i, et soit t le point oij cette tangente perce le plan de l'infini. Menons par t les deux tangentes à l'ombilicale Q et soienta et b leurs points de contact. Les plans

C) Voir, comme appHcsiion de ces considérations, mon Étude géométrique sur la cyclide (journal L'Institut et Bulletin de ta Société pkilomathique.

tjna et tmb sont deux plans isotropes tangents à la courbe G, el les génératrices correspondantes delà ddvelo|)pal}]e sont les droites isotropes ma et mb. Remarquons mainlenant que, la droite ab étant la polaire du point l par lapport à l'ombilicale, le plan mha est perpendiculaire à la tangente mt\ les génératrices de la développable, qui passent au point m, sont donc les deux droites isotropes passant par ce point dans le plan normal à la courbe.

J'imagine maintenant une droite passant par le point m et par le point m', pris sur la courbe G, à une distance infiniment petite de m. Les cônes isotropes ayant ces deux points pour sommets se coupent suivant un cercle, dont le plan, perpendiculaire à mm', [lasse par le milieu de ce segment, et dont le rayon, égal à mm', est par conséquent infiniment petit. Le point m' venant à se confondre avec le point m, le plan du cercle d'intersection devient normal à la courbe au point m, le rayon de ce cercle devient nul et ce cercle se réduit à deux droites isotropes. Donc, quand une droite est tangente à une courbe gauche, le cercle, correspondant aux deux points de la courbe, qui sont réunis au point de contact, se compose des deux droites isotropes qui passent par ce point dans le plan normal à la courbe.

D'où cette conclusion : la développable isotrope, circonscrite à une courbe gaucbe, est la surface dérivée de cette courbe, lorsque la surface réglée, qui fixe le groupement de ses points, est la développable formée par les tangentes à la courbe.

Appliquons ces résultats à la recherche de la focale d'une courbe spbérique quelconque H; on sait, d'ailleurs, que cette focale est la ligne double de la développable isotrope circonsciite à H.

En désignant par S la sphère qui contient cette courbe, pour qu'un point donné m. soit situé sur une surface S dérivée de H, il est nécessaire et suffisant que le plan, associé au point m, par rapport à la sphère ('), coupe la courbe H en deux points situés sur une génératrice de la surface réglée y, qui détermine le groupement de points correspondant à la surface S. Si l'on considère en particulier la développable isotrope, qui correspond à la développable ayant H pour arête de rebroussement, pour qu'un point m

( ' ) Sur l'expression « plan a

soii siiué sur cette développable isotrope, il faut et il suffit que le plan associé au point m soil tangent à la courbe H.

Si m est un point de la focale, c'est-à-diie de la ligne double de la développable isotrope circonscrite à H, le plan associé à m est doublement tangent à H.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

La focale d' une courbe sphérique est le lieu des points asso' ciés (par rapport à la sphère qui contient la courbt;) aux divers plans doublement tangents à cette courbe.

\A. En particulier, supposons que la courbe donnée soit une biqtiadratique sphérique; on a, dans ce cas, quatre systèmes de plans doublement tangents à cette courbe et qui correspondent aux quatre cônes du second dejjré sur lesquels on peut la placer. La focale se compose donc de quatre biquadratiques sphériques. Pour les construire, considérons un de ces cônes K et son sommet O; la biquadralique correspondante est le lieu des points associés atiï plans tangents à ce cône. Ces plans tangents passant par le point fixe O, la courbe est située sur la sphère ajant ce point pour centre et coupant ortbogonalemenl la sphère S, cl elle est l'inlerseciion de cette sphère par le cône supplémentaire du cône K- dont le sommet est le centre de S,

Si la biquadratique donnée est une focale d'une surface anallagmatique, les quatre autres biquadratiques que l'on en déduit ainsi constituent avec elle la focale ordinaire de cette anallagmatique. On sait d'ailleurs que ces cinq courbes sont situées sur cinq surfaces du second degré bomofocales; les trois coniques focales communes à ces surfaces constituent la locale singulière de l'anallagmatique.

15. Remarques sur la transformation par rayons vecteurs réciproques. — Lorsqu'une surface passe par l'ombilicale, sa focale complète se compose généralement de deux courbes distinctes (dont chacune peut elle-même se décomposer en plusieurs autres). Les plans isotropes tangents à la surface, dont le point de contact est à dislance finie, enveloppent une développable dont la ligne double est \a focale ordinaire de la surface ; la dévelop-

pable circonscrite le long de l'ombilicale a pour ligne double la focale singulière.

.Pour prendre l'exemple le plus simple, on voit i\ac la focale ordinaire d'une analtagma tique se compose de cinq biquadraliques sphériques qui ont entre elles les relations que j'ai indiquées plus haut, et que sa focale singulière se compose de trois coniques.

Une surface du second degré n'a géoéralemeni pas de focale singulière et sa focale ordinaire se compose de trois coniques ; une sphère n'a qu'une focale singulière qui se réduit à son centre.

Quand on transforme une surface par rayons vecteurs réciproques, on voit facilement que la focale ordinaire de la transformée est la transformée de la focale ordinaire de la surface primitive.

Mais il n'en est pas de même relativement à la focale singulière. Pour voir ce qui a lieu dans ce cas, je ferai remarquer que tout point (réel ou imaginaire) de l'espace situé à distance iinie est représenté par un cercle de l'espace dont le rayon est fini et dont le centre est situé également à distance finie.

Généralement, un point situé à l'întïni n'est pas susceptible de mode de représentation, le cercle qui le représenterait étant alors rejeté entièrement à l'infini; il faut le définir par l'une quelconque des droites qui s'y croisent.

Lorsque le point considéré dans le plan de i'infini se trouve sur l'ombilicale, le cercle qui le représente se réduit à une droite dont la direction seule est déterminée. Un point de l'ombilicale n'a donc pas, à proprement parler, de représentation; mais si on le considère comme appartenant à une nappe d'une surface donnéCi la droite qui le représente est alors déterminée; c'est la droite réelle du plan tangent à la nappe de la surface au point considéré.

Une spbère ayant une nappe unique, on voit que chaque point de l'ombilicale (considéré comme appartenant à la sphère) est représenté par une droite unique passant par le centre de cette sphère, si l'on suppose ce centre réel, en sorte que tous les points de l'ombilicale seront représentés par le système de toutes les droites qui rayonnent autour de ce point.

Une surface anallagmatique ayant deux nappes qui se coupent suivant l'ombilicale, chaque point de cette courbe est représenté par deux droites réelles ; l'ensemble de toutes les droites que l'on obtient ainsi forme une congruence qui représente l'ojnbilicale.

Les considérations qui précèdent permettent d'établir facilement la proposition suivante :

Si l'on transforme une surface S en S' par une transformalion par rayons vecteurs réciproques; au moyen d'une sphère décrite autour d'un point O comme centre aw.c un rayon égal «R :

i" La focale ordinaire de S a pour transformée la focale ordinaire de S';

2" Pour obtenir la focale singulière de S' considérons le cône isotrope ayant pour sommet le point O ; il coupe S suivant une courbe à double courbure, à laquelle on peut circonscrire une infinité de plans doublement tangents enveloppant une surface défe/oppable S.

La courbe polaire réciproque de cette surface, par rapport à la sphère décrite du point O comme centre avec —= comme rayon, est la focale cherchée.

16. Si, en particulier, on considère une surface anallagmatjque S, le cône isotrope aj'ant pour fojerle point O coupe l'anailagmatique suivant une bîquadratîque. La développable doublement circonscrite à cette courbe se compose de trois cônes du second degré, qui ont pour polaires, relativement à la sphère dont ie viens de parler, les trois locales singulières de S'.

Proposition fondamentale.

il. Je rappellerai d'abord quelques notions importantes relatives aux surfaces anallagm a tiques.

On peut définir iine surface anallagmatique S comme le lieu des points associés, par rapport à une sphère fixe S) , des divers plans qui touchent une surface dn second degré (ou quadrique) A,.

(') Voir, à ce sujet, Bulletin de la Société philomatkique Noie Sur quelques propriétés des sur/aces anallagmatiques .

L'ialerseclion de S, elde A, est une biquadralique sphériqucF, qui constitue l'une des focales ordinaires de S.

On sait, d'après M, Moutard, que la même surface est susceptible de quatre autres modes de génération semblables, au moyen de quatre autres quadriqiies A^, A3, A,, A5, et de quatre sphères correspondantes S-,, S3, S4, S.;,

Les quatre biquadraliqoes Fa, F,,, F.j, Fj suivant lesquelles se coupent respectivement ces quadriques et ces sphères, constituent avec F, la focale ordinaire complète de S, et toutes ces courbes sont reliées entre elles de la façon que j'ai indiquée dans le Chapitre précédent.

Des nombreuses relations qui ont lieu entre ces diverses surfaces, je rappellerai seulement les suivantes, dont j'aurai besoin dans ce qui suit.

En désignant respeclivemenl par O,, O^, O3, O, et O5 les cinq centres des sphères :

I" Quatre quelconques d'entre eux forment un tétraèdre conjugué par rapport à la sphère qui a pour centre le cinquième point et par rapport a la quadrique correspondante; ainsi le tétraèdre 0| OjOaOi est conjugué par rapport à So et à A^.

D'où il suit que O5 est le point de rencontre des hauteurs du tétraèdre OiOsO^Oj, ou encore que la droite 0^ Oj est perpendiculaire au plan O.OsOa.

2" Deux quelconques des cinq sphères se coupent suivant un plan qui contient les centres des trois autres. Ainsi, le plan radical des sphères Si et S^, que je désignerai par la notation P,2, est le plan OaO.O^.

L'ase radical des trois sphères S,, S^ et Sj, que je désignerai parla notationD^j, est la droite 0,0|;.

18. Ceci posé, soient Sj- et Sj deux sphères principales de l'anallagmatique S, et A;, Aj les quadriques correspondantes.

M désignant un point quelconque de Set (M) le cône isotrope dont ce point est le sommet, le plan associé à M par rapport à Sj touche Ai en un point m,- que l'on peut appeler le point correspondant de M sur A,-; ce plan est d'ailleurs le plan radical de S,et de (M) considéré comme une sphère de rayon nul. De même, le plan associé à M par rapport à Sy touche Aj en un point m.j cor-

SUR l'emploi des IHAOINAIHEB DANS LA SÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE. iS;

respondant aussi à M, et ce plan est le plan radical de Sj et de (M).

D'après un théorème conmi, ces deux plans radicaux se coupent sur le plan radical P,j des deux sphères S; et Sj.

On peut donc énoncer la proposition fondamentale suivante :

Théorème I. — Si l'on désigne par mi et mj deux points correspondants sur les quadriques Aj et Ay, les plans tangents en ces points se coupent suivant une droite E située dans le plan P[j. La droite nti/nj est normale à l'anallagmatique S, et le pied de la normale est situé dans le plan mené par Dij, perpendiculairement à E.

Comme l'on a dix plans Pj-y, on volt, d'après le théorème précédent, que le système des normales à une anallagmatique donnée peut être engendré de dix façons différentes, an moyen de deux quadriques homofocales. De là résultent encore d'autres modes de génération de ces droites, au moyen de trois ou de quatre quadriques.

Ce sont ces diverses conséquences que je me propose d'étudier et de développer dans les paragraphes qui suivent. .

Génération du système des droites normales à une même surface anallagmatique au moyen de deux quadratiques homofocales.

i9. De la proposition qui précède on déduit facilement le théorème suivant :

Théorèmk II. — Etant données deux quadriques homofocales Al et A^ et un plan arbitraire P,ï, si, de chaque droite E de ce plan on mène des plans tangents aux deux quadriques, et si Von joint deux à deux les points de contact appartenant à des surfaces différentes, toutes les droites ainsi obtenues sont normales à une même surface anallagmatique S.

J'ajouterai que ia sur/ace S est le lieu des points d'intersection de chacune des normales avec le plan mené par la droite, qui est le lieu des pâles du plan P,2 par rapport aux surfaces homofocales à A\ et K.^, perpendiculairement à la droite E correspondant à la normale. On a ainsi un mode simple et direct de

génération de la congfuence de droites formée par les normales à une anallaginalique; et, comme je l'ai fait remarquer, celte congruence peut èlre engendrée, de la même façon, de dix manières différentes.

Tout ceci se rattache à l'étude de deux complexes de droites remarquables, que l'on peut définir ainsi qu'il suit :

Étant données arbitrairement deux quadriques, et m, m' désignant deux points pris respectivement sur chacune de ces surfaces, le premier complexe est composé des droites mm' telleiî que les plans tangents en ces points se coupent sur une droite fixe. Le deuxième complexe (réciproque du premier) est composé des droites d'intersection des plans tangents en m et en m' quand la droite mm' s'appuie sur une droite fixe.

20. La construction précédente donne, pour chaque point /» de A,, deux des normales à S qui s'y croisent; comme ces deux droites doivent être symétriques par rapport au plan tangent à ce point, on en déduit ta proposition suivante :

Théorème IIL — Si, par une droite D, prise arbitrairement dans l'espace, on mène des plans tangents à deux quadriques homofocales A,, Aj, et qui la touchent respectivement enpi, q\ et p^^, q^, la normale menée enp, à la quadrique A, est dans le plan des deux droites p^p^ et ptq^i et /ait avec elles des angles égaux.

Si l'on considère le quadrilatère ptq^ip-tqa, on voit que deux côtés consécutifs quelconques de ce quadrilatère, /»)^t et qtpi par exemple, sont également inclinés sur la normale en qi, et que leur plan contient cette normale ; d'oii cette conséquence curieuse :

Théohèmr IV (' ) . — Étant données deux quadriques homofocales quelconques, si un rayon lumineux, mené d'une façon quelconque dans l'espace, se réfléchit une première fois sur la première surface, une seconde fois sur la deuxième, une trot-

sième fois sur la première, et enfin une quatrième fois sur la deuxième, après ces quatre réflexions, il reprend la même route, en sorte que, quel que soit le nombre de réflexions analogues quHl éprouve, il parcourt constamment les quatre côtés du même quadrilatère.

En s'appuyant sur ia théorie bien connue des causliques, on dédnit de là la proposilion suivante, qui s'applique égalemenl aux coniques h omofocales (') et donne alors comme cas particulier la propriété focale qui sert de définition à l'ellipse el à l'hyperbole.

Théorème V. — Etant données deux quadriques homofocales quelconques, si, par une droite prise arbitrairement dans l'espace, on mène des plans qui touchent respectivement ces surfaces aux points /), , p^ et q^ , q^, la somme de deux côtés consécutifs du quadrilatère formé par ces quatre points est égale à la somme des deux autres, en sorte que l'on a

2i. Aux propositions précédentes se rattache un mode de transformation de droites dans l'espace, qui mérite d'être signalé.

Étant données deux quadriques homofocales A et B et une droite quelconque D, considérons un des points où cette droite rencontre A, et soit a ce point; soit de même b un des points où la droite coupe B, les plans tangents en a et en 6 se coupent suivant une droite par laquelle on peut encore faire passer un plan langent à A et un plan tangent à B; A désîgnanl la droite qui joint leurs points de contact, je dirai que D et A sont des droites correspondantes conjuguées.

A une droite quelconque de l'espace D correspondent quatre droites A; si un rayon lumineux est dirigé suivant la droite D, après s'être réfléchi successivement sur chacune des deux qua-

I est presqui; inutile de dire que tous les théorèmes énoncés dans re s'appliquent également aux anallagmatiques et aux coniques plani u'aux courbes sptiériques analogues,

driques, sa direction coïncidera avec celle d'une des droites coiijiigLiées A, et l'on obtiendra ces quatre droites en choisissant, de toutes les façons possibles, les points où se fail la réflexion.

Du théorème de Malus il résulte d'ailleurs que si un système de droites D est normal à une même surface, il en est de même des systèmes des droites conjuguées,

22. Le système des droites normales à une anallagmatique 2 étant déiînl comme je l'ai fait dans le n" 19 au moyen des deux quadriques homofocales A) et A^ et du pian fixe P,2, on peut se proposer de déterminer tous les autres éléments qui définissent 2.

En conservant les notations du n" 20, si l'on désigne en outre par K.J la conique suivant laquelle le plan P/y coupe la quadrique Aj, on obtiendra facilement les propositions suivantes :

Les centres 0) et O^ des sphères correspondant aux quadriques A, et Ai sont respectivement les pôles du plan Pij par rapport à ces surfaces. Les centres des trois autres sphères sont les points de rencontre des diagonales du quadrilatère complet formé par les quatre points d'' intersection des coniques KJ et K|.

Si l'on circonscrit une surface développable à la quadrique Al et à laconique K^, les trois autres coniques doubles de cette surface sont les coniques KJ, KJ et KJ, et la développable est circonscrite à la sphère S , .

De là résulte, en particulier, une construction très simple des diverses quadriques A^ , A^, A3, . . ,, lorsque la surface anallagmatique est définie par l'une d'elles et la sphère correspondante.

TnÉoRiÈME VT. — Une surface anallagmatique étant définie par une surface du second degré et une sphère, la dévelop' pable circonscrite à ces deux surfaces a quatre lignes doubles qui sont des coniques. D'après un théorème dû à M. Chasles, par chacune de ces coniques on peut faire passer une quadrique homo/ocale à la première; les cinq quadriques ainsi déterminées sont précisément celles au moyen desquelles on peut engendrer la surface.

3 LA SÉOMÉTRIE DANS l'ESPAOE. 361

23. Le système des normales à une surface anallagmatique S peut être en général engendré de dix manières dtiférentes par le mode de construction que j'ai indiqué ci-dessus.

Si la surface a un plan de symétrie, quatre de ces modes de génération ne peuvent être généralement appliqués et deviennent illusoires.

On peut, en effet, définir cette surface au moyen d'une qoadrique et d'une sphère S ayant son centre dans un des plans de syniélrie H de celte quadrique; les centres des autres sphères principales de l'anallagma tique sont les sommets des cônes passant par l'intersection de la quadrique et de la sphère S. Dans le cas considéré, l'un de ces centres étant à l'infini, la sphère, la quadrique et le plan fixe correspondant se confondent tons les trois avec le plan de symétrie H; la proposition fondamentale ne peut donc plus s'appliquer, et il est nécessaire d'étudier directement ce cas spécial.

IVIais avant d'ahorder cette étude, je dois encore faire ime remarque sur un cas singulier qui semble présenter quelque inléi'ét.

24, Les normales à une surface anallagmatique ayant trois plans de symétrie peuvent être considérées comme le lieu des diverses droites qui joignent les points de deux quadriques homofocales pour lesquels les plans tangents sont parallèles.

Considérons maintenant deux quadriques homofocales, et soit H un de leurs plans de symétrie; prenons une droite quelconque E située dans ce plan, et menons par cette droite des plans tangents à ces deux surfaces; les droites qui joignent les points de contact situés sur l'une des surfaces aux points de contact situés sur l'autre sont toutes normales à une même série de surfaces parallèles pour lesquelles on saura même déterminer les lignes de courbure.

Dans le cas général (celui où le plan H n'est pas un plan de symétrie), on sait que, parmi ces surfaces parallèles, se trouve une anallagmatique; dans le cas singulier que je considère, celte anallagmatique est rejelée à l'infini.

Je remarque, en effet, que le lieu des pôles du plan H, par rapport aux quadriques homofocales aux quadriques données, est l'axe Os perpendiculaire au plan de symétrie H; les points de

contact des plans menés par E aux deux quadriques sont situés sur un cercle dont le plan est perpendiculaire à E, et, par conséquent, parallèle au plan mené par Os, perpendiculairement à cette droite. 11 en résulte, d'après la construction donnée dans le n" 16, que tous les points de l'anallagnia tique sont rejetés à l'infini.