THÉORIE DES SURFACES

Nouvelles Annales de Mathématiques; 187a,

Les beaux travaux de MM. Bonnet, Bour et Codazzi ont notablement perfectionné la théorie des snrfaces; les formules fondamentales de celte théorie me paraissent pouvoir être exposées d'une façon assez simple. . . .

Je suppqse les différents points de la figure rapportés à trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz, et les coordonnées des points de la surface exprimées en fonction de deux variables indépendantes u et c.

Soient (u) et (c) les courbes de la surface obtenues en donnant respectivement à « et à c des valeurs constantes.

Imaginons un trièdre trireclangle AfX., M'Y, MZ, qui se déplace de façon que son sommet M décrive la surface, l'arête MTi lui étant normale; les deux arêtes jÏ/X et MY sont constamment situées dans le plan tangent en M., mais leur mouvement reste indéterminé.

Soient

cos«, cosp, CO.-f,

cosS, COS., cosÇ,

les cosinus que font respectivement les axes Tl/X, il/Y, Mï avec les axes fixes Ox, Oy, Oz.

364 ÛÉOMÉTHIE.

Si l'on passe d'un point quelconque (u, v) de la surface à un point infiniment voisin (u-^du, v-]-dv), d'après une formule bien connue sur le déplacement infiniment petit d'un corps invariable{'), on a les neuf relations snivanles :

I d cos a =-^(M. du -h îidv)co»l +(Pd(H- Sdp)co3l, rf cos E = — ( M du -i- N rfc ) cosa - ( R rfw + Q rfp) cosX, dci>s\ = — (P du+ S dv) cosa -h (R du -t-q dp) cosl rfcosp = + (MrfM + N*)cosu-)-(Pdw + S rfp)cosii,

Je n'éci'is que les quatre premières de ces relations, les autres s'en déduisant immédiatement; M, N, P, Q, R et S désignent six fonctions données de u et de v.

Comme les développements qui suivent s'appuient surtout sur les formules données (^) par M. Serret pour les lignes à double courLure, je transcrirai ici ces formules.

les cosinus des angles que font respectivement, avec les axes fixes O.-r, O^ et Oz, la tangente à la courbe, la normale principale et l'axe du plan oscuiateur.

Désignons de plus par ds un élément infiniment petit de la courbe, par r le rayon de courbure el par t le raj'on de torsion en ce point.

Les formules de M. Serret sont contenues dans le Tableau sui-

{') Voir Nouvelles Annales de Mathématiques, 2° siirïe, t. VI, la Note de M. Picart : Nouvelle théorie du déplacement continu d'un corps solide, p. 160. (') Voir Calcul différentiel de Lacrois, t. II, p. 284 et 299.

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ile MTa étant

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aie àl

a surface,

en ci

ssignant par

l'angle que fait la courbe avec l'axe il/X, el par ra l'angle que f la normale principale de la courbe avec la normale à la surfac les formules d'Euler donnent le système de formules suivant ; cosa cosa + cosfe cosP -H cosc cos-y = cos t,

cosir cosa -H cos j' cos^ + cosa cosy = sintosini.

Si compte de;

int nous différentions ces neuf équations en tenant

laiions (i) et (2), nous obtiendrons, après quelques 'édiiclions faciles, le Tableau suivant :

(P (/m + S rff) cosî— (R rf« -t- Q rfcjsini,

qui donne les trois premières écjiialions fondamen Laies de la théorie des courbes tracées sur les surfaces.

Les quantités dcosa, deos^, ... étant, par leur définition même, des différentielles exactes, en exprimant que celte condition est remplie, on obtiendra les trois relations contenues dans le Tableau suivant :

(B) |^^=MQ-IiN,

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