SUR LA DETERMINATION

RAYON DE COUlîBURE DES LIGNES PLANES.

Ballelin de la Société philomalhique: iS(i;,

Si, en un point M d'nne courbe, on imagine construite la paral)ole stiroscuîatrice de la courbe, la posilion du îayer F de cette parabole donnera d'une façon très nette, non seulement la valeur du rayon de courbure au point considéré, mais encore la variation {[ue cette valeur éprouve en passant à un point infiniment voisin, en un mot la déviation de la courbure- Cette déviation est mesurée, comme on le sail, par la langenle de l'angle que fait la normale au point M avec la droite joignant ce point au foj'er F; quant au rayon de courbure, sa valeur est doitble de la longueur de Ja projection sur la normale du segment de droite MF.

Le but de cette Note est d'exposer brièvement quelques propriétés générales des courbes algébriques, qui permettent dans beaucoup de cas de déterminer géométriquement en un point d'une courbe la posilion du foyer de la parabole surosculatrice. La méthode qui en découle me parait, par son principe, différer entièrement de celles qui ont été employées'jusqii'icî ; et l'on peut l'appliquer du reste, complètement, à toutes les courbes de troisième et de quatrième classe.

Le théorème fondamental sur lequel je m'appuierai dans la iccherche actuelle est l'un de ceux que j'ai donnés très succinctement dans les Comptes rendus (janvier i865).

Avant de l'énoncer, j'expliquerai quelques expressions nouvelles dont je vais me servir, et qui, dans beaucoup de recherches géométriques, sont utiles parleur précision et leur brièveté.

ai

Imaginons dans un plan deux sysLèmes de ii droites A et B, et prenons arbitrairement un axe fixe H dans ce plan; si la somme des angles que font avec l'axe fixe des droites du système A est égale à lin multiple de tc près à la somme des ang^les que font avec ce même axe les droites du système B, je dirai que les deux systèmes A et B ont même orientation. Ils jouiront alors de la propriété énoncée ci-dessus relativement à tout autre axe situé dans le plan.

Soient P un point situé dans un plan et A,, A», . .., A„n autres points de ce plan; menons les droiteêPA), PA2, . • - , PA„ et sur chacune do ces droites portons une longeur égale à l'inverse du segment correspondant. — Considérons ces longueurs comme représentant des forces; composons-les, et sur la direction de leur résultante portons, à partir du point P, une longueur égale à l'inverse de la /i'''"'° partie de celle résultante. L'extrémité a du , se^menlainsidélerminé sera dite le centre harmonique des points

A.,, Aa A„ relativement au point P, et la longueur Va sera

■ la moyenne harmonique entre les longueurs PA,, PA-j, . ., PA„. En adoptant pour un moment les notations de M. de Saint- Venant, qui représente simplementla composition des longueurs par le signe de l'addition, on voit que le mode de définition donné plus haut du centre harmonique revient à l'équation suivante:

ï^ ^ ï^i "^ pÂs ""^ ^ pâ;,

La désignation nouvelle quejepropose ici renferme, on le voit, comme cas particulier, celle qui a été employée parMaclaurin et

qui est consacrée par l'usage; elle ne peut donc donner lieu à aucune espèce de confusion et en somme n'introduit aucun terme nouveau dans le langage géométrique.

Je ferai à ce sujet les remarques suivantes, dont l'application se présente fréquemment :

i" Si le point P est à l'infini, le centre harmonique d'un système de points A), Aj, ..., A„ se confond avec leur centre de gravité.

2° Si l'on considère seulement 2 points A) et A^, leur centre harmonique a se trouvera sur la circonférence passant par les points A|, A2 et P elles quatre points P, a, A,, A^ diviseront harmoniquement la circonférence.

J'énoricei-ai de la façon suivante le théorème tjui me serl. de point de départ :

ThéorèmeI, — Si par un point P situé dans /e plan d'il ne courbe plane réelle de classe n, on mène les n tangentes à la courbe, et si l'on joint ce point aux n foyers réels de la courbe, les deux faisceaux de droites ainsi obtenus ont même orientation. (Théorème VII des Comptes rendus.)

Od déduit immédiatement de là le ibéorème suivant :

ThéorëmeII. — Si, par un point P, prisdans leplan d'une courbe plane réelle de classe n, on mène les n tangentes à la courbe, le centre harmonique des n points de contact relativement aupointP est le même que le centre harmonique des n foyers réels.

En particulier, si l'on siipposele point P à l'infini, on obtient un système de tangentes parallèles; le centre de g;ravité des points de contact est le même que celui des foyers; ii est donc fixe : théorème bien connu que l'on doit à M. Chasies,

En appliquant le théorème II à un point infiniment voisin de la courbe, on en déduit la proposition suivante relative à la détermination du foyer de la parabole surosculatrice :

Théorème III, — Par un point M d'une courbe plane de classe n, menons à la courbe les (n-z) tangentes différentes de celle qui a son point de contact en ce point; sur la direction de chaque tangente, et du côté opposé à celui oii se trouve le point de contact, portons une longueur égale à l'inverse du segment compris entre le point M et ce point de contact; joignons le point M aux n foyers, et sur chacune de ces droites portons, du côté où se trouve le foyer correspondant, une longueur égale à l'inverse de la distance du point M. à ce foyer.

Si nous composons toutes ces longueurs entre elles en les considérant comme des forces, et si, sur la direction de la résultante, nous portons à partir du point M une longueur égale à l'inverse de cette résultante, l'extrémité de la droite ainsi obtenue sera le foyer dé la parabole surosculatrice au point M.

yGoosle

Remarque. — Si un des foversde la courbe se Irouve àl'inGiii, il est clair que, dans le ihéorème précédent, il n'ya pas à en tenir compte.

Si tous les foyers étaient à l'infini, !a position seule des tangentes interviendrait dans l'application du ihéorème. Ce cas se présenle parfois; ainsi, lorsque les extrémités d'un segment de droite de longueur donnée sont assujetties à se mouvoir, chacune sur une courbe algébrique donnée, l'enveloppe de cette droite est une courbe de l'espèce indiquée ; et ce caractère seul, d'avoir tous ses foyers à l'infini, suffit pour établit' relativement à cette courbe un grand nombre de propriétés dignes de remarque.

Une courbe de ce genre est l'épicycloïde à trois points de rebronssement; c'est une courbe de troisième classe ayant tous ses foyers à l'infini.

Le théorème précédent appliqué à cette courbe fournit la propriélésuivante :

Par un point M d'une telle épicjcioïde, menons la tangente à la courbe qui n'a pas son point de contact au point M lui-même et soit ( le point de contact de cette tangente; si nous prolongeons ;M d'une longueur égale à elle-même, l'extrémité de la longueur amsi obtenue sera le foyer de la parabole suroscnlalrice de l'épicycloïde au point M.