Désignons par

les angles qui fixent les positions des points a, b, c, d sur le cercle; nous aurons

et l'équation précédente deviendra, en développant et divisant par cos^ç,

diangf ï/(lang<^ — langa)(lang<p — tang^)(tang^ — tangyKtangç — langS)

l/Ctangff'— langa)(taiigu'— tangP)(langif.'— tangf}(tangtp'— tangg)' ■e, en posant pour abréger

tangif'=:j', t3nga = A, tangp=B,

yGoosle

c'est l'cquaiion différentielle dont l'élude sert de base à la théorie des fonctions elliptiques, et qui a été intégrée pour la première fois par Euler.

5. Les considérations géométriques qui précèdent donnent, immédiatement cette intégrale. On satisfait évidemment, en effet, à l'équation précédente [ou à l'équation (i)], si l'on suppose que les angles f et a' correspondent à deux points M et M', tels que la corde MM' enveloppe une conique passant par les points a, b, C et d; comme l'équation des coniques qui passent par ces points renferme une constante arbitraire, on voit que l'on a l'intégrale générale de l'équation.

Considérons trois points quelconques a, b, c communs au cercle et à la conique; on sali que, MT désignant une tangente quelconque à celte conique, et («), (6), (c) désignant les distances à celte droite des points a, b, c, on a, quelle que soit la tangente, la relation

où 1, [J-, y désignent des quantités constantes pour la même conique, mais qui renferment une quantité arbitraire, si l'on considère toutes les coniques qui passent par les points a, 6, C et d- Joignons aux points M et M' les points a, b elc; les aires des triangles MaM', M6M', McM', ayant même base, sont entre elles comme leurs hauteurs

les aires de ces triangles, dont les angles aux sommets sontégaus, sont entre elles comme !es produits

aM.aM', bM.bM.', cM.cM'; on a donc

aM.aM' bM.bM' cM.cM' D'où

X \/aM.aM'-h ^ \/bM.bM'-\- v v/cM.cW= o,

el nous avons là l'intégrale générale des équations (i) et (i' ). En introduisant les angles tp, i^', a, ..., ou plutôt leurs tan-