ij..H

Dai

is celle idenlilé, où

écrit, pour abréger,

k désignant l'invariant quadratique simultané des hessi et de co.

yGoosle

6. Ayant choisi l'une tjiielconque des solutions de réc|ualion (4), où les nombres a et 0 satisfont à la relation (4)'i on en déduira un système A' de même forme que le système A.

Les coordonnées «', 6', c', ... qui entrent dans ce nouveau système sont reliées par une identité delà forme

et je me propose d'abord de détermioer la valeur des constantes qui entrent dans celte relation, ou encore le système A' que l'on peut former avec elles et qui est analogue à A.

A cet effet, je remarque que l'on a, d'après l'équation (5),

et que, si lo second memî)re de cette relation ne contienl pas de terme en z', c'est précisément en vertu de l'identité (i).

Pour trouver A', il faut donc le déterminer par la condition que le développement de l'expression

Il suffit pour cela de déterminer deux quantités ï. el [i, de telle sorte que l'expression

ait la même forme que A {c'est-à-dire que le terme du milieu soit le quadruple de chacun des termes de la diagonale secondaire du système).

En effet, en remplaçant respectivement A' el A' par leurs valeurs, on a identiquement

A(A'^' — s) = i[H,AHna(X^ -i- ,il)iî„ — s] = i[A(X^ -!- |j;I) — ^],

expression dont la valeur, en vertu de la formule (5), manque bien du terme en z^.

7. Les nombres p, 6, A et [j. ayant clé déterminés comme je l'ai dît ci-dessus, en désignant par t', h', k\ ... les quantités analogues k i, k, k, . . . , mais relatives aux systèmes A' et A', la for-

mule (Ô) donne la relalioii

le déterminant qui précède devient, si l'on remplace dans son expression A' et A' par leurs valeurs

i|lI,AH[Ho(ï^.4 + [iI)IIoi3T-l- ly]~-z\, ou, en effectuanl les calculs,

ou encore, en mnltipliant à droite par H, le système compris sous le signe A et en le divisant ensuite à gauche par H,,

ou encore, en vertu de la formule (4),

A\A[{\a:+py)A^{lxa!-i-llx)l]-s\.

Si l'on développe ce déterminant au mojen de la formule (5), on obtient l'expression

8. Les polynômes (^7) et (6) doivent être identiques, quelles que soient les variables x, y, z; en identifiant ces denx exprèssionsj on obtient les relations contenues dans le Tableau suivant :

Tableau A.

j 6 /oîip'^ io p' C — ai'uXpO + 3 p.6' =: 0 ; I ['j^ioXîfl + sioXpiJ; — 6yo>.V — ^l^'S;

ij" =e»iH-2peA + p=A, h'= |lOt-^(XO^-p^l)''-l->•p*, k' = jiîi + îJiiiA + X'/:.

Je laisse momentanément de côté ces relations, sur lesquelles 'aurai à revenir plus tard; je me contenterai de faire observer

yGoosle

que la première des équations (3) du Tableau précédent donne la solution de la question principale que je m'étais proposée. Toutes les quadriques fournies par l'équation

où le rapport ? peut varier d'une façon arbitraire, coupent X. suivant une de ses lignes asjmptotiques; et comme par chacun des points de cette surface passent deux de ces quadriques, on obtienl ainsi le système complet des asymplo tiques chercliées.