II. — Propriétés des lignes asymptotiqucs

9. Considérons une ligne asjmptotique quelconque Z de la surface SC; cette ligoe est l'arête de rebrousscment de la surface enveloppée par le plan dont l'équation est

t\% désignant un paramètre variable.

Lorsqu'on donne à ce paramètre une valeur déterminée, l'équation précédente représente un plan osculate'ur de Z et tangent à aC, que j'appellerai simplement plan (l). J'appellerai tangente (t) la tangente à Z au point où le plan (t) lui est osculateur; ses équations sont

dit du

'di ~ ^ '^ ~ "■

Enfin j'appellerai /)omi (t) le point de contact de cette tangente; ses équations sont

Je dirai indifféremment que f.-^ (ou t) est le paramètre de ce point, de la tangente en ce point à l'asjmptolique et du plan osculateur dont cette tangente est la caractéristique.

Les relations précédentes et l'équation (i) permettent d'exprimer les coordonnées d'un point quelconque de Z en fonction de son paramètre; on obtient ainsi le Tableau suivant ;

Tableau B.

a =— 4aiaT2— la^ï't»— 12Y' t'— 43tS, b= 3aiit5-H 8[l(Hs+ 6-fi»-c'— etS, fi =- tat'T — ^piH''+ 4S(=t'+ 2e(ts,

10. Étant donné un point M, dont les coordonnées soient a', y ^ d , d! et e', posons pour on instant

I a-^\a' li-hlb' c -hic' I

\ b^ib' c + Xc' d + \d'\ =y + xy„-i-)-5/-H>.V C);

d'après Ja méthode donnée par Joachimsthal, on obtient l'équation du cône circonscrit à 9C et ayant pour sommet le point M, en égalant à zéro le discriminant de la forme cubique contenue dans le second membre de l'égalité précédente. Si le point M est sur Z,

€t l'équation du cône circonscrit devient

Jl — iJA^ "■ On peut dans cette équation csprimer, en employant les formules du Tableau B, les coordonnées du point M en fonction de son paramètre (, et je ferai remarquer c^u'après ta substitution les invariants y'o, j, j'^ deviendront des covariants des formes u et w.

Comme un covariant est déterminé par son terme du degré le plus élevé en t, il me suffira, pour calculer cliacun des covariants dont je viens de parler, de supposer a', b' et c' égaux à ïéro, et de remplacer respectivement d' ei d par ai" et 4^'*- H viendra ainsi

J,^[^'^{ac~-b^)-->Mad-bc)\t^ + ...;

ter toute confusion, je ferai remj e dans le paragraphe précédent.

d'où l'on voit que j^ est égal à — 2J„, Jo désignant le jacobien de w et du hessien de w, en sorte que

On obtient de même dou

par suite, l'équation du cône circonscrit à 3t et ayant pour sommet le point (/) est

11. Le coefficient du terme le plus élevé dans le covariant J=+^V"est

on, en effectuant les calculs,

f^ac ^ b^)[aHae - c-^) - .',<ip{ad- hc) + ipHac - /r-)\. Si l'on désigne par H le fiessien de u el par G le covariant

[y.^(bd-c^) — :i^(ad~bc)^l^^{a-( — ^^)-\t^-^...,

on voit que l'un a identiquement

ja+ wi/H= H((u2(-h4G);

d'où il suit que le cône circonscrit se décompose en deux cônes dn second oràre, propriété caractéristique de la surface réciproque de la sur/ace de Steiner ( ' ).

Remarque. — Les deux cônes ainsi obtenus se distinguent très nettement par la forme de leur équation; je dirai qnc le cône dont l'équation est

appartient à l'asymptotique Z, et je le désignerai par la nota-

(I) Sur la surface de Steiner, voir Borchardt, t. LXIII -. Cremona, Sur la surface du quatrième ordre, etc., p. 3i5 el suiv. — Borchardt, t. LXIV ; Kum- MER, Ueber die Fiûchen des vierten Grades; WEiKRSTHAss. JVoie zur vorstehenden Abhandlung ; Sghrûter, Ueber die Steinei''sehe Fl&che.

SUR LA SURFACE KtClPBOQUE DE LA SURFACE DK STEINf

tion K-t; il est clair que le second cône appartient à la di ligne asjmpLotlque qui passe par le point {t).

là. SoienL (t) ei [t') deux points de l'as^'inplotique Z; considérons le premier éiiianaLit de «,

''*' 1 -h-^(6r^-H3w'ST'-i-3<^f'-u'=-HÊt'»).

L'équation ^^= o représente un plan passant évidemmeni par la tangente (i'); st, laissant le point (ï) fixe, on fait varier le point (('), ce plan enveloppe une surface du quatrième ordre ayant pour arête de rebrou ssement une cubique gauche.

L'équation de cette surface s'obtient en égalant à zéro le discriminaut de C (par rapj)ort à (' et t); comme ce discriminant est un covariant de « et de w, il suffit de calculer son terme du degré le plus élevé qui est

ou encore

L'équation de la surface développable, que j'appellerai 2,, est