Pour tous les points de l'arête de rebrouss doit avoir
at -\- bv bt -^ c-z ci -1- <^T
ht -1- ex et -^ dx dt -\- ex
(ac — b^)t^-i- (ad — bc)tx -i- (bd— c*)tï = o, (ad — bc)t'-^(ac — c')«T-H(èe —dc)x^=o, ibd— c3)(î-t-(èe —cd)tx-^{ce — rf5)T» = o.
Le déterminant de ces trois équations est égal ày'^, ainsi (]u'il est facile de le vérifier; comme il est nul par les points de la courbe, il en résulte qu'elle est située sur la surface 3t.
Elle est également située sur le cône Sd; l'équation de ce cône
peiil en effet se meure sotis la forme siilvame :
P[(ac — *ï)('-4-(arf— 6c)iT + {6rf — c*)t:ï]
+ tS[(M+ c' )('-!- (6e — crf)(t-f- (ce — rfî)t'] = o.
D'où celle conclusion :
L'arête de rebroussement de la développable S( est la cubique gauche, suivant laquelle la surface W est touchée par le cône circonscrit à la surface, appartenant à V asymptotique Z, et ayant pour sommet le point [t).
De là on déduira facilemenl les propositions siiivanles :
Théorème l. — Les cônes du second degré circonscrits à J)C, ayant leur sommet sur une ligne asymptotique Z de cette surface et appartenant à cette ligne asymptotique, louchent 3t suivant des cubiques gauches. Les surfaces développables, dont ces cubiques sont les arêtes de rebroussement, coupent 3t suivant la ligne Z.
Théorèmf, II, — Étant pris un pointM sur la surfaceX, le cône, circonscrit à la surface et dont ce point est le sommet, se compose de deux cônes du second ordre. Chacun d'eux touche ÏK suivant une cubique gauche; les surfaces développables, dont ces cubiques sont les arêtes de rebroussement, coupent 3C suivant les deux lignes axymptotiques qui se croisent au point M.
l-i. Les cônes du second degré circonscrits à 3t: et qui appartiennent à l'asympLolique Z louchent cette surface suivant des cubiques gauches que je dirai aussi appartenir à l'asyniptotique.
Toutes les cubiques appartenant à cette asj'mpto tique passent par les quatre points satisfaisant aux équations
ces points sont d'ailleurs les points de rebroussement de lasymptotique et les points coniques de 9Ï ; leurs paramètres sont les racines de l'éqnation w = o.
