DU SECOND DEGRÉ

luUelin delà Société philotnathique; i

1. On sait, depuis les travaux de M. Poncelet, que tous les cercles tracés dans on même plan passenl par deux points fixes imaginaires situés sur la droite de l'infini. Je désignerai par I el J ces deux points reniartjuables, que, dans une Note publiée dans les Comptes rendus (janvier i865), j'ai proposé de nommer ombilics du plan. J'appelle droite isotrope toute droite du même plan qui passe par l'un des points I et J; l'ensemble de ces droites forme deux systèmes bien distincts, l'un composé de droites parallèles entre elles et passant par le point I, l'antre de droites également parallèles et passant par le point J.

Par tout point d'un plan passent deux droites isotropes de systèmes différents, dont l'ensemble forme un cercle de rayon nul. Dans un plan réel, toute droite isotrope renferme un point réel, et n'en renferme évidemment qu'un; c'est le point où elle coupe la droite isotrope qui lui est imaginairement conjuguée.

De la considération des droites isotropes découlent, pour les courbes algébriques, deux notions fondamentales ; ta première est celle des foyers que, d'après Plucker, je définirai comme les points dé concours des diverses droites isotropes que l'on peut mener tangenliellemenl à la courbe; relativement à ces friyers, il y a lieu de faire une distinrlion importante entre les foyers ordinaires et les foyers singuliers (voir Comptes rendus, i865); la deuxième est celle des droites conjointes relativement à un point.

Si par un point M, pris dans le plan d'une courbe, on jnènc les deux droites isotropes qui se coupent en ce point, les an points d'interseclion de la courbe et des droites seront situés, deux à deux, sur n droites réelles ; je nommerai ces droiles les conjointes du point M relatives à la courbe, en me servant d'une expression déjà employée, à peu près dans le même sens, par M. Chasles dans la théorie des coniques. Si l'on prend la polaire réciproqne de ]a courbe par rapport à un cercle décrit du point M comme centre, les n foj'ers de la transformée seront les pôles des conjointes du point M,

2. Toutes les sphères décrites dans l'espace ont en commun une conique imaginaire située sur le plan de l'infini (Poncelet), et que l'on peut appeler ombilicale . Les ombilics d'nn plan quelconque sont les points où ce plan coupe l'ombilicale. — Toutes les droites isotropes passant par un point de l'espace formeront un cônes'appujant sur l'ombilicale, et que je nommerai cône isotrope. Par ime droite, on peut mener deux plans tangents à l'ombilicale; je désignerai de tels plans sous le nom de plans isotropes; pour un plan isotrope, les deux ombilics, qui sont généralement distincts, se confondent entre eux.

La surface développable circonscrite à une surface quelconque et à l'ombilicale sera dite développable isotrope de cette surface ; les lignes doubles seront les focales de la surface; il j a lieu d'ailleurs do distinguer les focales singulière^ et les focales ordinaires,

3. Toutes les génératrices rectilignes d'une sphère sont des droites isoiropes ; le plan tangent, en un point P de cette sphère, la coupe suivant les deux droiles isotropes de ce plan tangentqui passent au point P. Sur une sphère donnée, imaginons deux génératrices i et y de systèmes différents et se coupant en un point réel P de cette sphère ; les au très génératrices isotropes de la surface se partageront en deux groupes : l'un, I, formé des génératrices de même système que i et rencontrant toutes la droite/; l'autre, J, formé des généralrices de même système que /et rencontrant toutes la droite i.

Si l'on fait une projection stéréographique sur un plan parallèle au plan tangent en P, les génératrices de la sphère du système I

se projetleronl suivant un sysLèine de droites isotropes parallèles à y, et celles du système J, suivant un système de droites isotropes parallèles à i. — Celle propriété est Ibndamentale dans la théorie de la projection siéréograplii<|ue.

-4. Soit tracée sur une sphère une courbe algébrique que, pour plus de simplicité, je supposerai réelle. — Imaginons les tangentes à la courbe qui sont des droites isotropes du système I, et soit » le nombre de ces tangentes; il y aura également h droites isotropes du système J, qui seront tangentes à la courbe, et l'ensemble de ces zn droites formera un réseau dont les n* points de rencontre seront les foyers de la courbe; on peul prendre de différentes façons n de ces points, de sorte que deux quelconques d'entre eux ne se trouvent pas sur une même droite isotrope; ces n points formeront alors un système indépendant. — Parmi les h' foyers, il y a toujours n foyers réels, et il n'y en a que n; ils forment un système indépendant, et par conséquent permettent de déterminer tous les autres. — Si l'on joint par une droite deux foyers réels quelconques, la polaire de cette droite coupera la sphère en deux points imaginaires, qui seront des foyers de la courbe; réciproquement la polaire de la droite réelle, qui passe par deux foyers imaginaires conjugués, coupe la sphère en deux foyers réels.

A. proprement parler, les courbes spliérîqiies n'onl pas de foyers singuliers, c'est-à-dire de tangentes isotropes dont le point de contact soit sur l'ombilicale. Nous donnerons cependant ce nom aux points dont voici la définition : prenons deux points imaginairement conjugués de l'intersection de la courbe avec l'ombilicale, les génératrices isotropes passeront par ces points, se couperont en deux points réels diamétralement opposés. Nous oommerons ces points foyers singuliers. Ils jouissent de la propriété suivante, que, si l'on considère un cône ayant pour sommet le centre de la sphère et pour base la courbe, ce cône admet pour focales singulières les droites joignant les couples des foyers singuliers. — Un cercle sur la sphère n'a pas de foyers ordinaires; il n'a que deux foyers singuliers, qui sont ses pôles sphériques (') :

{') Pour évLi pôles sphérique

En général, l'intersection d'une sphère nvec une surface de degré m a 2. m foyers singuliers et 2 m (m — 7) foyers ordinaires.

Lorsqu'on projette sléréographiqiiement une courbe, les génératrices isotropes de la sphère se projeltent suivant des droites isotropes; il en résulte que les foyers ordinaires de la courbe se projettent suivant les foyers ordinaires de la transformée. Il n'en est pas de même des foyers singuliers; pour les obtenir, on considérera l'une quelconque des surfaces qui, avec la sphère, définissent la courbe, el l'on prendra son intersection avec le plan tangent au pôle de transformation. — Les polaires des conjointes de ce pôle, relativement à l'intersection dont je viens de parler, couperont le plan de projection aux foyers singuliers de la transformée.

5. Je considérerai spécialement dans cctie Note les courbes qui résultent de l'intersection d'une sphère par une surface du second degré. Elles ont été déjà l'objet des travaux d'un grand nombre de géomètres, notamment de MM. Quetelet, Dandelin, Ghasles. M. Darboux a aussi publié divers Noies très intéressantes à ce sujet [Nouvelles Annales de Malh. et Annales de l'École normale, i865).

Ces courbes correspondent exactement sur la sphère aux courbes planes remarquables étudiées par M. Moutard, et qu'il a nommées anallagmatiques du quatrième ordre. Par analogie, je les désignerai brièvement sous le nom à' anallagmatiques sphériques.

Un telle courbe peut être placée sur quatre cônes du second degré (Poncelet). Soit C l'un de ces cônes et ï son sommet ; si l'on considère les divers plans tangents que l'on peut mener à ce cône, on voit immédiatement que la courbe peut ôlre considérée comme l'enveloppe des cercles suivant lesquels ils coupent la sphère. Mais il importe de définir la suite de ces cercles par des considérations qui soient purement relatives à la sphère. Dans ce but, je remarquerai d'abord que tous les cercles considérés coupent orthogonalement le cercle de la sphère dont le sommet T est le pôle, cercle que je désignerai par S; en second lieu, que les foyers

inl de son plan qai porte ce nom, et hon pôle, le pflic de son plan par rapport

de ces cercles se trouvent sur le cône sirpplémeniaire clir cône G, ajani pour centre le centre de la splière.

En désignant par G la conique sphérique résuitaot de l'intersecl.ion de la sphère par ce cône supplémentaire, on peut donc énoncer le théorème suivant :

Vanaliagmatique sphérique peut être considérée comme l'enveloppe de cercles dont les foyers décrivent une conique sphérique, et qui coupe orthogonalement un cercle fixe.

- Par l'anallagmatique considérée passent, outre le cône C, trois autres cônes G), C^, Cj. Déslffoons respectivemenl par S,, Sa, Sj et G) , Ga, et Gs les cercles et les coniques sphériques relatives à ces cônes et analogues à S et à G; l'anallao-matique pourra être engendrée, au moyen de l'une quelconque de ces coniques, de la i'açon définie ci-dessus.

11 j a donc, en tout, quatre modes difierenls de génération.

Le plan polaire de chacun des sommets passant par les trois autres, ilen résulte que chacun des cercles S, S,, Sa et Sa cou()e orthogonalement les trois autres; les quatre cônes C, C,, C^ et Cq sont liomocycliques, donc les quatre coniques G, Gi, Ga et G3 sont honiofocales.

6. Projetons slét'éographiquement l'anallagmatique sphérique. On voit immédialeiuent que si l'on désigne par s la projection du cercle S et par k la projeclion.de la conique polaire du cône G relativenienl à la sphère, conique que j'appellerai K, la courlie résutlanl de la projection de l'anallagmatique sphérique pourra être considérée comme l'enveloppe d'un cercle mobile coupant orthogonalement le cercle s, tandis que son centre parcourt la conique k. ^ — C'est donc une analiagmatique plane; et, comme l'anallagmatique sphérique, elle admet quatre modes de génération.

Il est important d'établir que les quatre coniques directrices, correspondant aux quatre modes de génération, sonthomofocales.

A. cet effet, soient O le pôle de transformation et i ety les deux génératrices isotropes passant par ce point. On sait que les droites isotropes du plan N,. sur lequel se fait la projection, forment deux systèmes distincts : l'un, que je désignerai par !„, est formé de droites parallèles à ('; l'autre, que je désignerai par Jg, de droites

parallèles àj. — Considérons une droite isotrope du système I», qui soil tangente à A'; les droites I9 et i sont dans un même plan, qui, contenant la génératrice i, est langent à la sphère; il est langent aussi à la conique K. Par suite, il est tangent aux coniques K.,, Kj et Kj, el son intersection avec le plan N doit être tangente aux coniques A-|, k-. el k^. Ce que je viens de dire des droites du système Ifl s'applique aux droites de l'autre système. Les quatre coniques considérées ont donc mêmes tangentes isotropes, et par conséquent sont homofocales.

(Toutes ces propriétés des anallagmaliques planes ont été signalées pour la première fois par M. Moutard en 1861),

On démontrerait d'une façon analogue que la projection stéréographique d'une anallagmatlque plane sur une sphère est une anailagmalique sphérique.

7. Au lieu de considérer l'anullagmatiqne comme rcsiillant de l'intersection de la sphère par le cône C, on |)cut la considérer comme la courbe de contact de la développabie circonscrite à la sphère et à la conique K.

Cette façon de considérer la courbe est peut-être celle qui se prêle le mieux à la démonslration géométrique de ses proprlélés.

J'indiquerai d'abord rapidçment la disposition de ses foyers. Elle a quatre foyers singuliers, qui sont les foyers communs aux quatre coniques G, G, , Gj et G». Elle a seize foyers ordinaires, qui sont les points d'intersection de chacune des coniques K, K,, K^ et Kg, avec celui des cercles S, S,, Ss et S3 qui lui correspond. Quatre de ces foyers sont réels; ils peuvent être tous les quatre sur un des cercles que je viens de mentionner, ou être distribués deux à deux sur deux de ces cercles. De là deu\ classes principales dans l'ensemble des anallagmaliques.

8. Propriété géométrique relative à trois foyers quelconques situés sur un même cercle. — Considérons, par exemple, le cercle S et f, g, h, trois foyers situés sur ce cercle; ces trois points se trouvent également sur la conique K. Soit M un point de la courbe sphérique; le plan Q tangent à la sphère en ce point coupe le plan R de la conique K, suivant une droite jjiV tangente à cette conique. Or, les trois points /, g cl k étant sur la sphère, /"M*,

^M* et h'\P sonL respectivement proportionnelles aux distances de ces mêmes points au pian Q ou encore à ]a tangente ;*V. En appelant x, y et z ces distances, l'équation de la conique en coordonnées tangentielles est de la forme

)V^-t-ii/r-i-fv'^ = o-

Si maintenant nous remplaçons x, y el s par lesquanlilés proportionnelles/M, gM et /(M, il viendra pour l'équation de Tanallagma tique

La même méthode permet d'établir d'autres relations remarquables; ainsi, si l'on peut inscrire dans le cercle S un quadrilatère circonscrit à la conique K (auquel cas on pourra le faire d'une infinité de façons); en désignant par a, p, y, S les sommets consécutifs d'un tel quadrilatère, la courbe sphérique correspondante satisfera à une relation de la forme

Les courbes que l'on peut définir ainsi forment dans l'ensemble des anallagmatiques un groupe très remarquable; mais leurs plus importantes propriétés dépendent de considérations différentes de celles que je viens d'exposer. On pourrait les distinguer sous le nom général de cassiniennes, par analogie avec l'ellipse de Cassini, qui peut être considérée comme leur type principal.

9. Étant donnés quatre points/, g, h el k situés sur un même cercle d'une sphère, proposons-nous de faire passer par un point M pris sur celte sphère une anallagmatique ayant les points donnés pour foyers ordinaires.

Soit RV la trace du plan langent en M sur le plan du cercle ; le problème se réduit évidemment à construire dans ce plan une conique tangente RV et passant par les points donnés. Or, les points de contact des deux coniques satisfaisant à la question, points que je désigne par p et q, sont les points doubles d'une involulion formée par les points de rencontre de la droite RV avec les différentes coniques que l'on peut faire passer parles points donnés. En particulier, le cercle qui les contient est une de ces

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coniques; soienl a et a' les points où il coupe RV. Les quatre points/), q; a., o! sont en rapport harmonique; il en est de même dû' faisceau de droites Mp, M^; Ma, Ma'. Mais les droites Ma, Ma' sont deux droites isotropes; donc l'ang^le pMg est droii; cl comme Mp et Mq sont respectivement les normales aux anallagniatiques qui satisfont au problème et qui correspondent respectivement aux points p et y, il s'ensuit que ces courbes se coupent à angle droit.