SUR LA SURFACE RÉOIFHOOOE DE LA SURFACE DE STKINKR
IndépeodamnieiU de ces quatre poiDls, deux cubiques appartenant à l.'asvmploliijue Z se coupenl en un cinquième point.
Ce point est le sommet d'un cône du second degré qui contient les deux cubiques.
Pour démontrer cette proposition, je m'appuierai sur le lemme suivant que l'ou établira facilement ;
Une surface développable du. quatrième ordre (ayant pour arête de rebroussement une cubique gauche) étant considérée comme l'enveloppe d'un /fan mobile
/(X) désignant un polynôme du troisième degré en X, les différents canes du second ordre qui passent par l'arête de rebroussement sont donnés par l'équation que l'on obtient en égalant à zéro le covariant quadratique de /(X).
Cela posé, la cubique gauche, suivant laquelle la surface <"K est touchée par le cône du second ordre ayant le point {() pour sommet et appartenant à l'asymptollque Z, est l'enveloppe du plan mobile délini par l'équation (8) ((' étant considérée comme la variable). L'équation générale des cônes du second ordre passant par celte cubique sera donc, en vertu du lemme précédent,
I ai-^hx bt^cx cl -\-dT \
!l'i[(ac — b^)l^ +■ (ad— bc)lx + {bd~ c'jt^J ■+-t'x'[(ad—bc)t^-h(ae — c^jtx-hibe - crf)^!] -+- l'i |"(6rf— c^j t'-^{be —od)ti:-hice — (^)xî] = o.
Je remarque maintenant que celle équalion est sjmélrique par rapport à ( et ^; d'où les propositions suivantes :
Théorème III. — Si de deux points (t) et (/') situés sur l'asymptotique Z, on mène les cônes du second ordre circonscrits à ^ et appartenant à cette asym.ptotique, les deux
cubiques gauches de contact sont situées sur un même cône du second ordre, dont le sommet est te point d'intersection des deux cubiques distinct des quatre points nodaux de °K. Remarque. — Ce cône est défini par l'équalion (lo), Ïhéouéme IV. — Etant donnée une cubique quelconque passant par les quatre points coniques de at, la surface développable, dont celte cubique est l'arête de rebroussement, coupe 9C suivant une de ses lignes asrm/'loiiques Z.
Si l'on considère les divers cônes du second degré qui contiennent cette cubique, ils coupent X suivant les diverses cubiques appartenant à Z, en sorte que les développables dont elles sont les arêtes de rebroussement contiennent toutes Z, et que les développables circonscrites à'-X. le long de ces cubiques sont des cônes du second ordre dont les somtnets sont situés sur Z.
i5. Il esl facile d'étendre les rf^sulliils précédenls à une as^mptotique quelconque Zp résultant de l'intersection de X avec la quadriqne
A cet effet, j'établirai d'abord une formule très simple et que j'aurai souvent l'occasion d'employer.
Soil., en conservant les notations du § I, le système linéaire gauche
Uo= — ÏT o o >
le produit HUH, est aussi un système gauche que je ferai égal à('^
(') Il est important de ne pas confondre îc sien de u que j'ai désigné par la même lettre.
en sorte que l'on a
De réquaûoo (4) on déduit
II(I-^U)Hi= pA + ei +v.
d'où
i(I-i-U)^ A(pA-l-BI^-V)- Représenlons. (joiir abréger, par o(a:, y, z) la forme quadratique
a.w^-Y- ({■]-;c^ + e3^+ l^Zzy -\- i\ p^^ -1- a-f;ra; en développant fa relation précédente, on obtiendra l'équalion
en sorte que, quand le rapport t ; t prend toutes les valeurs possibles, les variables x, y, z restent constamment liées par la relation (il).
16. Cela posé, d'après ce que j'ai démontré plus haut, l'équation générale des cônes circonscrits appartenant à l'asjmptotlque Z s'obtient ea égalant à zéro le hessien de h; on peut donel'écrire de la façon suivante :
ou simplement
A(A-hU,) = o.
Les cônes circonscrits appartenant à l'asymptotique Zp auront par suite pour équation
i(A'-v-Uo) = A(H,AH -i-Uo) = i(A-H H,oU„H„) = o.
ou enfin en dévelop|janl
-+- -tibe — cd)yz + ilbd — c^')zm + -x^ad — bc)xy = o.
Telle est l'équation générale des cônes du second ordre circonscrits à Ù(. et appartenant à l' asymptotique Zp, les variables X, y, z étant assujetties à satisfaire à l'équation (i i).
17. L'équation générale des cônes du second ordre qui coniiennenf les cubiques gauches appartenanl à l'asymptolique Z {Cf, a" 14) peut se mettre sous la forme
L'équation analogue pour les cubiques appartenant à l'asjmptc tique Zp sera
i H, AH H -:( o o X o o o
= i A + Ho, - T! o o X o o o X JI(, [,
ou encore, en vertu des relations que j'ai établies plus haut,
D'où la conclusion suivante :
Si l'on désigne par x, y, z et x', y', z' deux systèmes de variables satisfaisant respectivement à l'équation {i i), l'équation générale des cônes du second ordre qui contiennent les cubiques appartenant à l' asymptotique Zp est
dm dy~^ dz '
Je désigne ici pai-yia même forme tjnadraliqiie que dans Je nu inéro précédent.
Les équations des cubiques gauches elles-mêmes sont
(ac — b^)x-<r{ad — bc)y^{bd— c^ )s = o, (ad ^ bc)3: -h (ae — c^)y -h (be — od)s = o, (bd— cï)3:-^(be —cd)y-i-(ce — rf2)3 = o.
18, Je ferai encore quelques remarques sur les propositions précédentes.
Par tout point M, pris sur la surface iK', passent deux cubiques appartenant à l'asvmpLolique Z; ces deux courbes définissent parfaitement le point M, dont on peut ainsi (ixer la position sur la surface par les valeurs des paramètres ( et t' des points de Z qui sont les sommets des cônes touchant la surface suivant les cubiques considérées.
En un point ((, (') .le .■}(:, l'équation du plan tangent est
U^t'-^iaP^ ■>.bti -I- CTî) + 2t'T'(6(î-h ac/T -I- A^) on voit ici apparaître rémauiint principal de «; les deux autres C'= t'(at^+ 3 6ï'T-i- jc(t:'+ d-z>') -^ -J {bt^ + ïct^-. ^ :àd(x'--i- er^)
C^ t{af^-hibl'^x'—-3cl'^.'"'-hdt'-')-t-x(bt'-^-t-icn-:'+idfT'^^ex-i)
représentent, comme nous l'avons vu, les plans passant pai' le point ((, t') et les tangentes (() et (('), ou encore les plans osculaleurs des cubiques, appartenant à l'asymptotique Z, qui se croisent au plan considéré.
Le plan tangent au point ((, (') passe évidemment par les deux points (t) et (/').
Il serait facile d'exprimer en fonction des paramètres i et l' les coordonnées du point ((, ;'); mais je laisse de côté cette recherche, qui me serait inutile en ce moment.
Jll. — Sur les lignes n dont les aiiyinptotiqu.es s
>dales des surfaces développables nt les arêtes de rebroussemenC {' ).
19. La surface dévelo|jpab!e (©, dont la sexliqiie Z est l'a de rebroiissement, a pour ligoe nodale une quarlif^ue -Tb doi est facile d'obtenir les équations.
Pour tout point de celte courbe, l'i^qaation
a deux couples de racines é tème d'équations
oc — 6^ ad — bc ae
les; elle est doûc définie par le sys- ■ibd—'ic'- ùe — cd ce — d'-
d'où l'on déduit, en vertu de l'identité,
-23(*e — crf)-l-î(ce-Hrf2) =o.
('] On sait {voir Catliît, loc. cil.) que ces lignes nodaies sont des courbes du quatrième ordre el de secoade espèce (c'est-à-dire par lesquelles on ne peut faire passer qu'une seule surface du second ordre)-, dans tout ce qui suit, je les appellerai, pour abréger, simplement guartiques, en réservant le nom de biquadratigitea aux courbes du quatrième ordre qui résultent de l'intersection de deux surfaces du second ordre. J'appellerai de même sextiques les courbes du sixième ordre et de quatrième classe qui sont les asymptotiques de la surface réciproque de la surface de Steiner Les seitiques sont les réciproques des surfaces développables qui ont des quartiqucs pour arêtes de rebrousse ment.
Les paragraphes qui suivent peuvent être considérés comme un chapitre partiel de la théorie des quartiques et des sextiques.
A ce sujet, il ne sera peut-être pas inutile d'indiquer le sens géométrique des
urface de Steiner
1. Etant donnée une quartique, l'enveloppe des plans qui coupent cette courbe en quatre points équiharmoniques est la surface du second ordre que l'on peut mener par la quartique.
IL Etant donnée une quartique, l'enveloppe des plans qui coupent cette courbe en quatre points harmoniques est la sur/ace de Sfeiner dont cette quartique est une aaymptotique.
Telle est l'équation de la qiiadriqtie ^, qui contient la ligne nodsie; en conservant li's notations du § I, on voÎe' que cette équation est
D'après le Tableau A, l'équation générale des quadriques ^p, contenant les nodales relatives aux diverses asjmptotiques de ia surfiiee, srra donc
