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20. On peut, par uni- qiiartiquc donnée 3b, l'aire passer une infinité de surfaces réglées du troisième ordre. Prenons, en effet, arbitrairement une corde de celle courbe, c'esl-à-dire une droite s'appnjant sur elle en deux points; tout plan passant par cette corde fixe rencontre de nouveau la courbe en deux points. Le lieu des cordes mobiles qui les joignent est évidemment une surface réglée du troisième ordre ayant la corde fixe pour ligne double.

Il est facile d'obtenir l'équation de celle surface.

A cet effet, je considérerai le covarîanl du sixième degré de u

L = («2rf-!-36S—3a6ciï« -+-...

(on saii que tous ses coefficienis s'annulent pour les points de la ligne nodale) et l'émanant principal de L

représente une surface du troisième ordre qui contient la qua tique X ; il est facile de voir que cette surface est réglée.

On a, en effet, en conservant les notations précédentes et e

posant, pour abréger,

(('= at'^-^- ^bt'H'-i- ficr=x'!-i- /idC\'^-\- e-cl', l'identité suivanie

d'où l'on voit qoe l'équalion de la surface peut se mettre sons la forme

équation d'une surface réglée dont les diverses génératrices sont données par le système simultané d'équations M=X'«/ et C'^--kC, où X désigne un paramètre arbitraire.