Les équations de la droite double de cette surface sont
et telle est l'éqnarion généraSe (renfermant deux paramètres arbitraires C et t') des cordes de la quartique.
La seconde directrice rectiligne de celte surface a pour équations
(' ) Sur cette identité, voir (Bulletin de ta Société pkUomatkique et journal
L'Institut, mars 187a), ma Note Sur les couariants doubles des formes bi/iaires.
La proposition fondamentale relative aux covarianls doubles peut s'énoncer
Étant donné un système quelconque S de formes binaires, tout covariant double de ce système peut se mettre sous la forme
(\), (B), désignant des émanants des formes A, B, et ces formes étant elles-mêmes des cotarianls du système S m lepiesente le coeariant double général
Depuis la pulilitatiLit de la Note dont je viens de patler, j'ai reconnu que M. Clebsch h était appuyé sur la même proposition dans son Ouvrage sur les formes binaires je crus toutefjia pouvoir fane remarquer à ce suj'et que, dés 1860, je l'avais communiquée à M Mermite en lui faisant connattre les premiers principes dune nouvelle thecrie des foi mes binaites qui est restée inédite.
Sun LA SURFACE BÉCIPROQUK Dli
Si l'on convienl d'appeler droite appartenant à une défeloppable les droites qui résiillenl de l'inlersecLÎon de deux plans langenls à celte développable, on peut donc énoncer la proposition
Théorème V. — Étant donnée une quartique quelconquei cette courbe est la ligne nodale d'une surface développable du sixième ordre et de la quatrième classe; par toute droite appartenant à cette surface développable et la quartique, on peut faire passer une surface réglée du troisième ordre.
22. L'écfualion générnle des surfaces ré^^ilées du troisième ordre passant par la quartique Jt, peut se mettre encore sous une autre forme remarquable, et qui résulte de l'identité
{Ci'—t''^)L„— aH'—a'H; d'où l'équation
uH'— h'H = o
et la conséquence suivante :
La courbe d'intersection de deux cônes quelconques appartenant à V asymptotique Z et la quartique ot, sont situées sur une même surface réglée du troisième ordre.
Celle même surface rég'lée contient aassi la courbe du dixième ordre qui est l'intersection (partielle) des surfaces développables dont les arêtes sont les deux cubiques suivant lesqiielles la surface ï)t est touchée par les deux cônes dont je viens de parler.
Ces deux surfaces (voir n" 12) ont, en effet, pour équations
ju^iH = o et y«'-(H'=o;
en éliminant y et u, on obtient l'équation précédente, ce qui démontre la proposition énoncée.
