Lorsque l'on fait

les deux directrices reclilignes des surfaces du troisième ordre se confondent, et l'on obtient les variétés singulières signalées par

M. Cajiey {voir Salmon : Anafytic Geotnetry of three dimensions, § 447).

L'équation de ces surfaces est L ^ o.

24, Par ia sextit|ue Z ei la qiiartique Ot, on [jeiit faire passer une infinité de surfaces du quatrième ordre dont Féqualion est

Je ferai remarquer encore, et je reviendrai plus tard sur ce sujet, que la ligne nodale X est sit.uée sur la snrface de Steiner S, qui est la polaire réciproque de ;X par rapport à la quadriqueS.

IV, — Sur les polygones que l'on, peut à. une sextîque gauche,

2S. Soit une sex tique gauche Z, définie comme l'arête de rebroussement de la surface enveloppée par le plan variable

« = «('+ ^(,[3i -i- ^ct'--'--\- idt'^ -h eT*= 0.

Supposons que les tangentes, en deux points (t) et ((') de cette courbe, se rencontrent en un point M (qui appartient nécessairement à la nodale %).

Les équations de ces langenles sont

Ces qui

devant être satisfaites pour les coordonnées du point M, on obtiendra la relation qui lie entre eux les paramètres t et i', en égalant à zéro ie déterminant de ce système d'équations.

La valeur de ce déterminant peut s'obtenir immédiatement en remarquant que c'est un covariant double de o), du premier degré par rapport aux coefficients de ce poljnome, et du sixième degré par rapport aux variables /, t et aux variables (, t'; en se reportant

-t- 3cPz

3ar(T= -i-ei

aCa

+ 3è('ÏT

3cï'T'' + dl

bt'^

■■-^3cr-x

3df'V!-H Cl

ons

et l'équ

ati(

m identiqt

-46iï +

f-4dS-^.

i la Noie qui précède le paragraphe précédent, temeni, que ce délerminanl a pour valeur

.^0 désignant l'émanant princi|jâi de i»

en sorte que la relation qui existe entre les paramètres t cl t' est

Les coordonnées du point M s'expriment lacilement en i'onelior des paramètres t et (', et sont données par le système d'équalioni

I — (ï+ 1') (2-f-4H l/éqiialion

donne heu à une remarque importante.

C'est l'intégrale de l'équation d'Eiiier qui sert de base à la théorie des fonctions elliptiques.

D'où la proposition suivante :

TuÉORiiME VI. — Si l'on peut circonscrire un polygone' gauche à une sextique, on peut lui circonscrire une infinité de polygones du même nombre de côtés.

Remarque- — H est clair que, pendant que les c6tés du polygone roulent sur !a sextique, ses sommets décrivent la quar tique y^.

On a ainsi un polygone mobile dont les sommets se meuvent sur une quadrique, tandis que ses côtés enveloppent une courbe tracée sur une autre quadrique; c'est un point particulier d'une question digne, je crois, d'intérêt, et sur laquelle je reviendrai. Je me suis déjà occupé du problème générai dans une Communication laite à la Société philomathique, en m'appuyant sur l'extension à l'espace de la théorie de Jacobi relative aux courbes planes du second ordre, extension que j'ai fait connaître dans une Note pré-

seniée à l'Inslitiii s,»rV Intégration d'une certaine classe d'équations différentielles.

27. En ijarliciilier, si l'on pei>l circonscrire un triangle à une se\ tique Z, on peut en circonscrire une infinité ; en d'antres ternies, si l'on penl mener un plan tritangent à la sexticfue, on pent lui en mener une infinité.

Si l'on se reporte à la relation

on verra facilement que ce cas se prcsenle quand on a

Comme l'a remarqué M. Cremona ( ' ), cette relation signifie que les quatre points cuspidaux de Z sont en rapport équiharmonique. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Quand les quatre points cuspidaux d'une sextique sont en rapport équiharmonique, on peut mener à cette courbe une infinité de plans tritangents.

Je montrerai plus loin que, dans ce cas, la sextique est située sur un c6ne du second degré.

28. La considération de l'équation ^,=^0 montre aussi facilement que la condition, pour que l'on puisse circonscrire à la sextique Z un quadrilatère, est

D'où, en se reporl.anl aux observations déjà citées de M. Cremona, la proposition suivante :

Quand les quatre points cuspidaux d'une sextique sont en rapport harmonique, on peut lui circonscrire une infinité de quadrilatères gauches.

(') Voir les Notes de M. Cayley Sw les It

M. Gayleya remarqué (' ) que, quand l'on ay',,^ o, [a sexLÎque est l'arête de rebroussemeot d'une surface développable circonscrite à deux quadriques se louchant d'un contact simple.

On peul donc énoncer le théorème suivant ;

Quand deux quadriques ont entre elles im contact simple, on peut circonscrire une infinité de quadrilatères gauches à l'arête de rebroussement de la surface développable circonscrite à ces deux quadriques.

V. — Digression sur les covariants doubles des formes binaires.

29. Comme, dans tout ce qui suit, les covariants doubles des formes u et <» se présentent très fréquemment, les considérations suivantes, quoique très simples, ne paraîtront peut-être pas inutiles.

Soient les formes u{x,y) et uii^x,y), dans lesquelles j'ai, pour un instant, substitué aux variables t et •: de nouvelles variables x et 7.

On a évidemment, en conservant les notations précédentes,

u{t3!^ t'y,-<:-'X + -^y)= ux'-^ ,\C'cc^y -^&Cax--y''^ !^Cxy>-+- u'y^.

n posant

Soit maintenant F un covariant double quelconque de m et de to ; m a, par suite de la définition même des covariants,

F(a, 6, ...,a, p, . . . .tx -\- f y,xx -^- ■^' y, tx' + fy',-vx'+ T'y") = ((t'- Ct)-'" ¥{u, C, . . ., .0, i', . ..,x,y,x-,y');

( 1 ) Notes Sur les torse

d'où, en faisan L dans celle idenLÎlé ^ = i, y ^ o, a;'=:o, y'=^ i,

F(«,è,...,C.,fl,..,,^T,ï',T')

= it-:'~t' ■€)-'»¥ (II. C, ...,!0,,r, ,.., i,o,o, !)■

De là résultent les conclusions suivantes :

i" Un covarianl double (et il en est de même évidemment d'un covariant simple et d'un invariant) est déterminé quand on connaît son terme principal, c'est-à-dire le terme auquel se réduit le covarianl quand on j fait t =^i , t = o, ^ = o, t' = i.

On obtient, à une certaine puissance près de (/t' — t'-ç), la valeur du covariant en remplaçant respectivement dans le terme principal a, b,c, ... paru, &, C^, .-., et a, p,-{, . . . , par w, ^, ^b,

a" Si l'on veut établir une relation enlre des éléments géométriques dépendant de deux points de la sexlique Z, on pourra toujours supposer que les paramètres de ces deux points sont o et on; de la relation qui a lieu dans ce cas particulier, on déduira la relation générale en remplaçant respectivement a, b, c, ... et a, P, Y) ■ - ■ parles émanants que j'ai mentionnés ci-dessus.

30. Pour faire une applicalion simple des considérations qui précèdent, je remarquerai que l'on a

L'équation de la quadrique S peut donc s'écrire de la façon snivante ;

Les plans osculateurs de la sextique Z aux points (t) et (('), dont les équations sont

coupent ^ suivant deux coniques siluécs sur le cône dont l'équation est

\Cl- ',.'X'=o;

le sommet de ce cône est défini par les équations

£0 = 0, £ = 0 et &' = o.

Ce point est d'ailleurs le point {t, t') de la surface ac.

yGoosle

On [jeiil donc énoncer la proposition suivante :

'J'héobème VII. — Étant donnée une sextique Z, si l'on mène deux plans osculateurs quelconques de celte courbe, ils coupent la quadrique, qui contient Z, suivant deux coniques; le sommet d'un des canes qui passe par ces deux coniques se trouve sur la sur/ace 01, dont Z est une asymptotique ; et, quand ces plans se déplacent de toutes les manières possibles, le sommet de ce cône décrit la sur/ace 3C.

Remarque. — On pent, par ces deux coniques, mener un deuxième cône; le sommet de ce cône décrit une surface que j'étudierai dans la suite de ce Mémoire,

VI. -- Centre et plan central d'une sextique gauche. 31. Outre l'invariant

qui est ideniiquemenl nul, (es deux polynômes m et w ont un autre invariant, du premier degré relativement aux coefficients de(/,

L'éqnatioTi hi,^= o représente un plan H; pour trouver les points d'intersection de ce plan avec la sextique Z, il faut remplacer a, b, c, ... par leurs valeurs tirées du Tableau B; le résultat devant être un covarianl de w, il suffit de calculer son terme du degré le plus élevé et par conséquent de Caire a, b, c égaux à zéro, et

d^af^ et e ^ 4 ^ (« ; il vient ainsi, comme premier terme de ce covariant,

d'ori l'on conclut que les paramètres des points où le plan II ren-

3o8 GÉOMÉTRIE.

coDlre la sextiqne Z sont les racines de l'équalîoti que l'on obtient en égalant à zéro le covarianl du sixième degré de w (').

Les paramètres des quatre points stalionnaJres de Z étant lesracines de l'équation w=o, on déduit de là et des propriétés bien connues du covariant du sixième degré d'une forme biquadratlque la proposition suivante ;

Théorème VIII. — Les quatre points stationnaii-es d'une sextique Z peuvent être partagés de trois façons différentes en deux groupes de deux points; à chaque mode de groupement correspond sur la courbe une division en involution donnant lieu à deux points doubles. Les droites qui joignent les trois couples de points doubles sont situées dans un même plan H, qui est le plan central de la sextique.

Gomme je le montrerai plus lard, ces trois droites sont situées sur la surface at, dont Z est une asymptolique.

32. Il est facile de conclm-e de ce qui précède qu'il ne peut exister d'autres covariants de u et de w, du premier degré par rapport aux coefficients de «, que ceux que je viens d'examiner.

En égalant, en effet, à zéro un tel covariant, on a l'équation d'un plan qui rencontre Z en six points dont les paramètres sont les racines d'une équation que l'on obtient en égalant à zéro un covariant de to du sixième degré. Or il n'existe qu'un seul covariant de ce degré; la proposition que je viens d'énoncer est donc démontrée.

De là diverses conséquences importantes.

En premier lieu, A„ étant le seul invariant linéaire par rapport aux coefficients de u (sauf «e — 4^3 4----t q"' est identiquement

Pai' tout point (i) d'une se^Lique Z, on peut mener en effet un plan leur de cette courbe et différent du plan (l)\ le paramètre (' de ce plan en égalant à zéro l'émanant

Si le paramètre {() satisfait à la relation u = o, on voit que l'on a t plan P se confond avec le plan {t).

B RÉCIPROQUE SE LA SURFACE DS STEmSB. ^09

nul), si l'on passe de la sexlique Z à la sextique Zp, en employant tes substitutions dont j'ai parlé au paragraphe I, hg devra, à an facteur numérique près, conserver la même valeur; et, en effet, on vérifie facilement que l'on a, en conservant les notations de ce même paragraphe,

TeÉoiiÈME IX. — Toutes les sextiques qui sont les asymptotiques d'une surface K ont même plan centrai.

Je dirai que ce plan est aussi le plan central de 9C; comme je l'ai déjà fait observer, il coupe cette surface suivant trois droites.

33. Équation de la surface du quatrième ordre qui contient les lignes nodales correspondant aux asymptotiques de la surface 3C.

Pour tous les points de la courbe X, qui est la ligne nodale de la surface développable ayant Z pour arête de rebroussement,

On déduit de là

(12) 6y/i„+i7c — Aî=o.

Cette équation représente une surface du quatrième ordre Q qui contient la nodale X; en se reportant aux formules (3) dn Tableau A, on voit que l'on a

['X.-' /,'s = (fiX — ij.p)=( ik - A=) ;

en vertu de la formule donnée dans le numéro précédent, on a donc identiquement

^jK+i'k'~h"- = {U. — fip)s[6yAo-i- ik — A^] ;

îla OÉOaÉTfilE,

d'où l'on déduilfacilementque la surface Q conLientlesnodales 5Ti,. dont le lieu est ainsi donné par l'équation (la).

'Si. [l j existe un point O de l'espace dont les coordonnée!

s'expriment an mojen des coefficients de u et du hessien de u.

Les coordonnées de ce point sont déterminées par le système suivant d'équations

Sj,.-,i.l.;-fr- aj-f, ,,.,„.„, ■■ + .PS-3y

On vérifie facilement que les quantités a, b, c, . . . sont les coordonnées d'un point, car elles satisfont idenliqueiiieiit à la relation

Cela posé, si l'on détermine le plan polaire du point 0 par rap~ port à une quadrique quelconque du réseau ((', A, k), c'esl-à-dire à une quadrique dont l'équation soit de la forme

il est clair que l'équation de ce plan s'obtiendra en égalant à /.éro un invariant de w et de w, du premier degré par rapport aux coefficients de H.

D'après ce que j'ai dit plus haut, sou équation est nécessaire- An = o.

D'où la proposition suivante :

Théorème X. — Le plan central H de la sur/ace Si a même pâle relativement à toutes les quadrigues du réseau (i, k, k )..

Je dirai que ce pôle est le centre de la sur/ace ac et des diverses sextiques qui sont les asymptotiques de cette surface.

3S. Si une droite peut être placée sur la surface 3C, elle rencontre S en deux points situés sur l'asymptolique Z. Cette droite

esL donc une corde de Ja sexliqae Z. Poiif trouver la relation qui existe entre les paramètres des extrémités de cette corde, je supposerai qu'ils soient respectivement o et od, en faisant

D'après le Tableau B, les coordonnées de ces points seioiil donc rt = è = c = o, d = %, e = 4 ri,

Désignons par k un paramètre variable; les coordonnées d'un point quelconque de la corde seront données par les équations

I o va -^-4]

d'où l'on voit que ta valeur du paramètre k correspondant au troisième point de rencontre de la corde avec IK. est donnée par l'équation

si !a corde est siiiiéc tout enlière sur !a surface, cette équation doit être satisfaite pour une inliiiité de valeurs de k. On doit donc

d'où l'on déduit, d'après les propositions données n" 29, les relations suivantes, qui exislenl entre les paramètres des extrémités d'une corde de Z située sur la surface,

yGoosle

36. On peuL satisfaire à ces relations de deux façons dislinctes : 1" En faisant

(0 = 0 et o('=i>.

Les racines de ces équations sont les paramètres des quatre points slatîonnaires de Z (qui sont !es quatre poinls coniques de M); on en conclut que les six arêtes du tétraèdre dont ces poinls sont les sommets sont situées sur !a surface.

1" En faisant.

Pour résoudre ce système d'équations, je remarque que, en éliminant t' entre ces deux équations, le résultat est un covarlant dont

Ce covariant est donc tùT^, Tg désignant le covariant du sixième degré de w.

iisissanlde côté le facteur étranger w, on voit que les paramètres des extrémités des cordes cherchées seront les racines de l'équation

ro = o.

Soient 3, , ^-î el jj les racines de l'équation ( ' ) on sait que fo est le produit des trois facteurs

l/siu) — aï], v/sîto — -iv], /ss'..--

lii y; représente le hessien de n).

Les deux racines de l'équation

sont Ses paramètres des extrémités d'une corde située sur la surface. Je désignerai cette corde par la lettre D,. Aux deux autres facteurs correspondront deux autres cordes Dj et Dj ; il suit d'ail-

{') Voir Saluon, Algèbre supérieure, p. i8o c

leurs de ce que j'ai dit au n" 31 que ces Irois droites sont l'intersection de la surface SE par le plan central H ( ' ),

A celte occasion, je ferai remarquer que le théorème donné au n°31 peuts'énoncer d'une façon un peu plus générale de la manière suivante :

Si l'on coupe une asymptotique quelconque 9t par une quadrique du réseau (i, h, k), celte quadrique rencontre la courbe en quatre points distincts des points coniques. Si l'on partage d'une façon quelconque ces points d'intersection en deux systèmes de deux points, la droite qui joint les deux points doubles de Vinvolution déterminée par ces deux systèmes est une des droites de la surface ÏK située dans le plan central.

VIII. — Pôles et pliTns polaires relativement à la surface S. Applications diverses.

37. Considérons un point dont les coordonnées soient n', Zi', c', d\ e'.

L'éqnalion du plan polaire de ce point, relativement à la quadrique 8, est évidemment

, (/( , ili di , di , di

Si la quadilque 8 est telle que l'on ait ;„■= o, les coordonnées du centre de la surface W. (n" 34) sont a, p, y, 5, s. L'équation du plan polaire de ce point est donc

„E-46B-^6cY — 4rfp-i-ea = o,

et, cette relation étant identiquement satisfaite, on en conclut que le plan polaire est indéterminé; par suite :

Lorsque, pour une asymptotique Z, on a i(,= o, cette asym-

(' ) Il esl clair que tout ce aucune parlicularilé. J'exainin fadeur triple ou deux facteurs

ptotique est située sur un cône du second degré dont le sommet est le centre de la courbe.