Soit un plan

0(1 voit Immédiatenicnt que les coordonnées du pôle de ce plai sont données par le système d'éqiiaûons

■ii,r,,-^'j: ft,-„p, -«p ai„-f„-«Y 2;„3„-«S af„.„-H£ où j'ai posé, pour abréj,'er,

« = aE,— 4pS»— 6Yf„-4Bp»-He''».

11 est facile, en effel, de vérifier :

i" Que les quantités déterminées par les équations précédentes sont effectivement les coordonnées d'un point, car elles satisfont à l'identité

„E 4(,a-l-fic-f — 4rf^ + e!i = o;

a" Que le plan polaire de ce point, par rapport à S, est le plan

39. Comme application des formules précédentes, considérons un plan tangent quelconque à la surface ÏK. Comme nous l'avons vu (n" 18), son équation est

ti,=^a(n'î-t-26(îi'2-i-in')-i-c((^ + 4»' + î'î)-Hirf(( + i')+e = o;

on a, dans ce cas,

et les coordonnées du pôle de ce pian sont données par le système d'équations

2tg— i/o« ~it,{t^t')—êa'^ "' ■iioCU"' — ^,)^.

Supposons le point tellement choisi sur la surface X que l'on it

yGoosle

91)11 LA SUIU'ACE REOIPIIOQUE DE LA SUliFACE DK STEINER. il.)

les coordonnées du pôle seront données par les équations

a ib e

en se reporlant au n" âS, on voit que le point ainsi déterminé est le point de la nodale 0Ï>, qui est l'intersection des tangentes (t) et (;'); le plan polaire de ce point louche par conséquent la surface &e au point [l, t').

D'où encore celte conséquence ;

La sur/ace développable, qui est la polaire réciproque de la nodale 3t. relativement à la quadrique S, est circonscrite à X.

40. D'après ce que je viens de dire, on voit que la surface de Steiuer E, qui est la polaire réciproque de 5C relalivomenl à la quadrique S, contient la nodale 9C,

Cherchons l'équation de cette surface; il faut, pour l'obtenir, éliminer t çl t' entre les équations (i3). A cet effet, y. désignant une quantité inconnue, je suppose que la valeur commune des rapports contenus dans ces équations soit égale à ^- On mettra facilemant ces équations sous la forme suivante :

Je remarque maintenant que ces équations expriment que la forme « + xw est un carré parfait; or, pour que cela soit possible, on doit a\oir entre les invariants de u et de m la relation suivante (<):

Dans cette formule, A et B représentent deux, combinants qui, dans le cas actuel où

«E — 46S + 6C7 — 4rfii + ea = o,

s'expriment, au moyen des invariants que nous avons introduits,

(') Salmotj, Higher Algebra, §§ 213 el 214.

R represenle le résultant des équations u et w. Par suite, la relation précédente (qui est évidemment l'équation de la siufacc S) devient

)44(:t-(-JoJP— R = o.

Il est clair que l'équation R^o représente les plans osculateurs de la sextique Z en ses quatre points stationnaires; ces pians touclienl la surface S le long de quatre coniques situées sur la quadrique

/.r + i'ot = o.

Cette quadrique est la polaire réciproque relativement à S d'une quadrique T à laquelle sont circonscrits les quatre cônes nodaux de la surface (').

La forme de l'équation précédente montie qu'elle représente une quadrique passant par l'interseclion des deux quadriques i^=o et A = o.

Je dirai, pour abréger, que la quadrique A':::^ o est adjointe à la quadrique g(i^.o), et je la désignerai par la notation S'. Cela posé, la remarque précédente donne lieu, relativement à la surface V, a la proposition suivante :

Thi'^omjîme XI. — Si l'on considère une quadricjue quel-

(I) Pour un point conique de la sui'tace Sf, l'équation u = c étant satisfaite, de la formule donnée (n» 10) il résulte que l'équation du cùne, circonscrit à ÎK et ayant ce point pnur sommet, est

Le cône circonscrit est donc un cûne du second degré double ; c'est un des cônes nodaux de la surface.

Il est important de remarquer que les quatre cènes nodaux appartiennent à toutes les asymptotigues.

Sur ces cônes, et en général sur la théorie de la surface qui fait l'objet de ce Mémoire, voir .-

Sturu, aber die Bomiscke Flache von Steiner (Math. Ann., III) ;

EcKAKDT, Beitrage zur analy tischen Géométrie {Math. Ann., V);

ToMNSEND, On tlie Nodal Cônes of Quadrtrtodal Cubics { Quarterly Journal, X ).

conque Sp, passant par une asymptotique de X, et la quadriqae adjointe Sp, la développable, circonscrite à Sp le long de leur intersection, est circonscrite à la quadrique T.

Réciproquement, si l'on circonscrit à Y et à Sp une surface développable, la courbe suivant laquelle cette développable touche Sp est située sur S'„.

IX. — Sur les fonctions qui jouent le râle d'invariants relativement aum substitutions qui permettent de passer d'une asymptotique de 3t aux autres asymptotiques de la surface.

M. ÉtanL donnée une asymptotique quelconque Z de la surface K, on peut, en général {sauf un cas particulier que j'examinerai tout à rheure), en. déduire toutes les autres asymptotiques ail moyen des substitutions dont j'ai parlé au paragraphe I.

Ces substitutions peuvent être définies par le système linéaire

et il y existe un certain nombre de fonctions des coefficients a, b, c, . . . qui, quand on y efl'ecLue ces substitutions, ne changent pas de valeur, ou, pour parler plus exactement, sont simplement multipliées par une puissance de {p|j. — )>9).

Ces fonctions, lorsqu'on les égale à zéro, représentent des surfaces iodépendanlfes de l'asymptotique particulière qui sert de base au système de coordonnées et ne dépendant que de la surface X elle-même.

TeUes sont, par exemple, les fonctions ik — li^ et h„^ qui donnent lieu aux relations

i' k'— A'= = (piJi — U't^i ik — h'-) et

Ai,=--(pn — ),e)î(j/:— A').

L'équation ik — h^ = o représente, comme nous l'avons vu, l'enveloppe des quadrlques Sp, et l'équation kt,= o est celle du plan central.

Les fonctions qui jouissent de cette propriété jouent évidemment un rôle important dans la théorie de la surface 3C; outre

cellfis dont je viens de parler, il esL facile d'en trouver plusieurs

Il résulte, en effet, des formules données au n" 7 du paragraphe 1, fjue, par la substitution

les formes

is:^-^-'i.hxy^ky-^ cl x^— i^xy''-]- ■>.j\y-'

se changent respectivement en

£ x'^ -+- 3 h' xy -+- k' y^ et x'^ — ij ry'-l- ij'„y^.

De là résulte que les invariants de ce système de formes sont des fonctions jouissant de la propriété dont je viens de parler.

Nous aurons à considérer ( ' ) :

i" L'invariant quadratique

je désignerai par ô la quadriqiie dont i'équation s'obtient en égalant à zéro cet invariant;

2° Le résultant de ces formes; j'étudierai de préférence les facteurs de ce résultant.

En désignant, comme au n° 36, par s,, Sj et S3 les trois racines de l'équation

je m'occuperai des surfaces représentées par les équations z\i + 2^1 A -H k = a,

{') Salmon, Algèbre supérieure, § 157.

St)H LA REPliKSIiNTATlON