SUR UN PLAN DE LA SURFACE DU TROISIÈME ORDRE

QUI EST LA RÉCIPROQliE DE LA SURFACE DE STEINER. Bulletin, de la Société mathématique, de France; 1873.

1. On dit qu'une surface S peut êlre représentée sur un plan P, lorsque à cliaqiie point M de la surface correspond un point unique et bien déterminé du plan, et réciproquement lorsque à chaque point du plan correspond un point unique et bien déterminé de la surface.

Lorsque le poini M de la surface décrit une courbe, le point m, qui lui correspond sur le plan, décrit une autre courbe qui est, pour ainsi dire, l'image de la première, et l'on comprend que les propriétés des courbes tracées sur la surface puissent se déduire de celles des courbes qui sont leurs images.

La projection stéréographique, qui constitue un des moyens que l'on peut emjiioyer pour représenter, dans le sens que je viens d'indiquer, la sphère sur le plan , a déjà depuis longtemps familiarisé les géomètres avec ces considérations qui permettent non seulement de transporter à la sphère les propriétés descriptives et métriques des figures planes, mais encore, en sortant de la spKère, d'établir des propriétés importantes des figures dans l'espace.

Le but de celle Note est d'appliquer la même méthode à l'étude d'une surface remarquable du troisième ordre, que j'ai déjà étudiée analytiqncment dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (').

( ' ) Becherches analytigues sur la surface du troisième ordre qui est U proque de la surfcwe de Steiner, ■%' série, t. XI, 1872.

2- 11 est facile de voir qu'une surface quelconque du Lroisième ordre peut être représentée sur un plan.

Une telle surface contient en général 2^ droites; soient D et D deux de ces droites qni ne sont pas dans un même plan.

Par un point M de la sui-face on peut mener une droite unique et bien déterminée qui s'appuie sur D et D', cette droite rencontrera un plan P arbitrairement choisi en un point bien déterminé m; réciproquement, le point m étant donné, on ne pourra mener par ce point qu'une droite s'appuyant sur D et D'; cette droite rencontrera la surface du troisième ordre en deux points situés respectivement sur D et D', el en un troisième point M distinct de ces points et parfaitement déterminé.

On obtient ainsi, on le voit, une représentation de la surface sur le plan P; on aurait évidemment pu, dans le même but, employer au lieu des droites D et D' une cubique gauche quelconque tracée sur la surface, car une des propriétés caractéristiques de cette courbe consiste en ce que, par chaque point de l'espace, on ne peut mener qu'une seule droite qui la rencontre en deux points (').

3. Dans oc qa! sail, je , sentation sur un plan de la ; lient les six arêtes d'un tétr

En prenant ce tétraèdre p l'équation d'une pareille surface est de k forme

La surface qui lui est réciproque (c'est-à-dire la surface qui est, par rapport à une surface du second degré, le lieu des pôles des plans qui lui sont tangents) est une surface du quatrième ordre ; et cette nouvelle surface jouit de la propriété d'être coupée

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(1) Sur la reprôseniation sur im plan d'une surface du troisième ordre, voir beau Mémoire de M. Creraona : Sur les surfaces du troisième ordre, et la Ge'i méii'ie de situation, de M. Reye, p. 172 et 199.

M, Cremona a aussi publié {Comptes rendus de l'Institut lombard, 18G7) u Mémoire sur la représentation sur un plan de la surface de Steincr, mais je n'i pu en prendre

suivant deux coniques parchacun de ses plans tangents, c'cstdonc la surface dite de Steiner.

On en conclut que, si l'on considère un cône circonscrit à S, et ayant pour sommet nn point de celte surface, ce cône se compose de deus cônes dii second degré ; la courbe de contact se décompose aussi en deux courbes distinctes qui sont évidemment des cubiques gauches.

i. Quand on étudie la représentation sur un plan de la surface S, on voit facilement que l'on peut efl'cctuer la représentation de telle sorte qu'à toute courbe plane de S corresponde, sur le plan, une cubique passant par six points fixes (II) qui sont les sommets d'un quadrilatère complet Q, et qui correspondent d'ailletii's aux six arêtes du tétraèdre situé sur S.

Cela posé, soient A et B deux points de S et a, 6 les points qui leur correspondent sur le plan; soient, de plus, C le troisième point où la droite AB rencontre S et c le point correspondant.

Toutes les sections planes de S, qui passent par A et B, passent «gaiement par le point C; les cubiques qui sont leurs images passent donc aussi toutes par le point c, d'où il suit que ce point est le neuvième point commun aux cubiques qui passent par les points a et 6 et les six sommets d u quadrilatère Q-

Pour déterminer facilement ce neuvième point, supposons, pour un instant, que les points a et ô soient les ombilics du plan, c'està-dire les points de l'infini où se croisent tous les cercles de ce plan. Si l'on délaisse un des côtés du quadrilatère Q, les trois autres côtés déterminent un triangle, et le cercle circonscrit à ce triangle constitue, avec le côté dont j'ai parlé, une cubique passant par les huit points a, b et (0); ce cercle passe donc par le neuvième point.

D'où celte proposition :

En prenant, trois à trois, les quatre côtés d' un quadrilatère complet, on détermine quatre triangles; les cercles circoncrits à ces triangles se coupent en un même point O, qui est le neuvième point commun aux cubiques qui passent par les ombilics du plan et par les six sommets du quadrilatère.

Imaginons la parabole inscrite dans ce quadrilatère, les quatre