L. - II

triangles dont je \iens de parler lui sont circonscrits, cL l'on sait que le cercle circonscrit à un triangle, circonscrit lui-même à une parabole, passe par le foyer de celte courbe.

Le point O est donc le foyer de cette parabole, ou encore le point de rencontre des tangentes qu'on peut lui mener par les ombilics.

6. Revenant maintenant au cas général, nous voyons que pour construire le neuvième point commun aux courbes du troisième ordre, qui passent par les six sommets d'un quadrilatère complet el deux points donnés a et è, il suffit d'inscrire dans le quadrilatère une conique tangente à aft, et par les points a et 6 de mener des tangentes à celte courbe ; le point d'intersection de ces droites est le point cherché.

En d'autres termes, si trois points A, B eï C de la surface S sont en ligne droite, leurs images a,betc sur le plan forment un triangle dans lequel on peut inscrire une conique inscrite dans (e quadrilatère Q.

Pour abréger, j'appellerai simplement coniques du faisceau les coniques inscrites dans te quadrilatère Q.

6. Considérons une droite tangente au point A à la surface S, ou, si l'on veut, passant par le point A et le point inGniment voisin A'; si l'on désigne par a et a' les images des points A et A', on voit que, pour obtenir l'image du troisième point où la tangente rencontre la surface, il suffît de construire une conique du faisceau tangente à aa' , et de mener par a ia seconde langente à celte conique; le point de contact b de cette tangente est l'image du point cherché.

D'où les conséquences suivantes :

1° Le plan mené au point A, tangentiellement à S, coupe cette surface suivant une courbe du troisième ordre à point double, lieu des points de contact des tangentes que l'on peut mener du point a aux coniques du faisceau.

2° Les lignes asymptotiques de la surface S ont pour images les coniques du faisceau.

En efi'ct, soit t une tangente à l'une de ces coniques et toucliant

celle courbe au point a, le point de contacl de la deuxième Langente, qu'on peut mener du point « à la conique, se confond avec le point lui-même, la prO|iosilion est donc démonti-ée (').

3" Si l'on cil-conscrit à la surface les deux cônes du second degré qui ont pour sommet un point A de cette surface, les deux cubiques de contact ont pour images les tangentes aux deux coniques du réseau qui se croisent au point a.

1. Soient s une conique du résean le présentant rasjinptotitjue Z de la surface S et M un point de celte asjinplolique; il est le sommet de deux cônes du second degré circonscrits à S et qui la touchent suivant deux cubiques gauches dont Tune est représentée par la tangente menée en wi à la cubique z) je dirai que celle cubique appartient à l'asjmptolique Z, en sorte que l'ensemble des cubiques appartenant à celle courbe sera représenté par l'ensemble des droites tangentes à s.

En se reportant au n° 7, on déduira facilement de celle définilion la proposition suivante :

La surface déoeloppable, qui a pour arête de rebroussemenC une cubique appartenant à une asymptotique Z, coupe la surface suivant cette asymptotique.

D'où encore :

Si l'on circonscrit à S les deux cônes du second degré qui ont pour sommet un point M de cette surface, les surfaces développabies dont les courbes de contact sont les arêtes de rebroussement coupent S suivant les asympioliques gui se croisent au point M.

8. Soient une cubique quelconque appartenant à l'asjmptotiquc Z et A l'un de ses points; joignons A à un autre point quel-

(' ] Clebscli a le premier trouvé les asymptoliques de la surface de Sleiiier do ni on déduÎL, par réciprocité, les asymptotiques de la surface donnée.

M. Darboux {Bulletin des Sciences matkéinatiques, t. I, p. 355) a, d'une façon plu» générale, déterminé les lignes asymptoliques des surfaces comprises dans l'équalion

conqufi B de la cubique, la droite ainsi oblemie rencoiiUc S eu nu

point C doDt il est facile d'avoir l'image.

En (^ffet, a et è étant les images des points A et B et c l'image (iii point C, il suffil (n" S), pour construire le point c, de considérer la conique ^ qui est tangenieà ab et démener par les points a et b deux tangentes à cette courbe; le point d'inlersection de ces deux droites, qui est le point c, est nécessairement sur la tangente menée par le point a; d'où cette conséfjiience importante :

Étant donnée une cubique quelconque appartenant à l'asymptotiqiie Z, si l'on imagine un cône quelconque du second degré contenant cette cubique, il coupe la surface S suivant une seconde cubique qui appartient également à l'asymplotique Z ;

Ou autrement :

Deux cubiques appartenant à la même asymptotique sont situées sur un même cône du second degré, ayant pour sommet le point d'intersection de ces courbes qui est distinct des sommets du tétraèdre fondamental T.

9. Lemme. — Quand un tétraèdre est inscrit dans une cubique gauche, toute corde de la cubique coupe les faces du tétraèdre en quatre points dont le rapport anharmonique est constant.

Soient maintenant deux cubiques quelconques appartenant à u»« asvmplotique Z; ces deux cubiques sont toutes deux circonscrites au tétraèdre T et sont situées sur un même cône du second degré; elles ont donc une infinité de cordes communes; on déduit, de là et du lemme précédent, la proposition suivante :

Les cordes de toutes les cubiques appartenant à l'asympiotique Z coupent les faces du tétraèdre T en quatre points dont le rapport anharmonique est constant.

Leur ensemble constitue ainsi le complexe remarquable du second ordre étudié par MM, Cliasles, Reye, Lie, Darboux ( ').

Rëye, Géométrie der Lage, t. II, p. 136 et agg.

En particulier, les tangentes ans cubiques font partie du complexe ainsi que les tangentes à l'asymptotique Z qui est l'enveloppe de ces cubiques. Par suite :

Les tangentes à une asymptotigue Z rencontrent les quatre faces du tétraèdre T en quatre points dont le rapport anharmonique est une quantité constante (^, et le complexe (Z) des droites, qui sont partagées dans le même rapport par les faces du tétraèdre, se compose des cordes des cubiques appartenant à cette asymptotique ( ' ).

On déduit encore de ce qui précède les propositions suivantes :

Étant données deux cubiques gauches situées sur un même cône du second ordre, ces deux cubiques se coupent en quatre points A, B, C e( D distincts du sommet du cône; cela posé, les surfaces développables, dont ces cubiques sont les arêtes de rebroussement, se coupent suivant une courbe du dixième ordre et une courbe K. du sixième ordre et de quatrième classe; cette courbe K, les deux cubiques gauches et les six arêtes du tétraèdre ABCD sont situées sur une même surface du troisième ordre dont K est une asymptotique.

Le cane du complexe ayant pour sommet un point donné de la surface S est le cône du second degré qui contient les deux cubiques appartenant à l' asymptotique Z et se croisant en ce point.

Tous les canes circonscrits à S et ayant leur sommet sur Z sont des cônes du complexe.

10. Une droite quelconque de l'espace, rencontrant la surface fondamentale S ans points A, B et G, peut être représentée par le triangle dôc, dont les sommets sont les images des points A, B et G.

Une droite de l'espace aura donc pour image un triangle circonscriptible à une conique du faisceau.

En particulier, toutes les droites du complexe (Z) ont pour

( ' ) Cf. SûPiius Lie, Ueber Complexe, mil Aiuv^ndung auf die Théorie parlieller Differential-Gleichungen {Math. Ame., i. V).

images les divers triangles que l'on peut eii-conscrireà laconiques.

Soient abc l'un de ces triangles et a, 3, y les points où s est respectivement touchée par Ids côtés bc, ca, ab. Le plan mené par A tangentiellement à S coupe celle surface (n° 6, i") suivant une cnbique à point double qui a pour image le lieu des points de contact des tangentes que l'on peutmener du point a aux coniques du faisceau ; cette courbe, et par suite le plan langent, passe donc par les points de l'asymptotique qni ont leurs images en p et y; on démontrerait de même que les plans menés en B et C, tangentiellement à S, passent respectivement par tes points de l'asymptotique dont les images sont y, a. et t., p.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si l'on coupe la surface S par une droite quelconque du complexe (Z), les plans tangents, menés à la sur/ace aux trois points de rencontre, forment un trièdre dont les trois arêtes rencontrent Z.

Si les trois faces d'un trièdre circonscrit à la surface S la touchent en trois points situés en ligne droite, des neuf points d'intersection des arêtes du trièdre avec la surface, il y en a trois qui sont situés sur une même asymptotique.

Réciproquement :

Un triangle quelconque étant inscrit dans une asymptotique Z, on peut toujours construire un trièdre dont les faces passent par les côiés de ce triangle et qui touchent la surface en trois points situés en ligne droite. Cette droite appartient au complexe (Z).

Il, Soit K. une conique quelconque située dans le plan sur lequel on fait l'image de la surface; on peut construire deux coniques du faisceau C et C telles qu'à chacune d'elles on puisse circonscrire des triangles inscrits dans K..

L'ensemble des triangles circonscrits à C représente un système de droites s'appuyant surK en trois points; K est donc l'intersection de S par une surface réglée V. Comme, d'ailleurs, la même

il RPR Es ENTAT ION SUR UN PLAN DE LA SURFACE DO TROISIÈME ORDRE. 3j7

courbe est J'intersectioii de S par les droites dont l'image est formée par les triangles circonscrits à C, on voit que la surface V admet deux systèmes de génératrices rectilignes; c'est par conséquent une surface <In second ordre qui, d'ailleurs, passe par les qiiatre sommets du tétraèdre T.

On peut donc énoncer les propositions suivantes :

Toute conique du plan est l'image d'une courbe du sixième ordre, intersection de S et d'une surface du second ordre passant par les sommets du tétraèdre T ;

Et réciproquement :

Si l'on coupe la surface S par une surface du second ordre passant par les sommets du tétraèdre T, la courbe d'intersection a pour image une conique.

12. En particulier, une asympLotique Z de la surface est située sur une surface du second ordre qui admet deux systèmes de génératrices rectilignes (G) et (G').

Si l'on applique aux poinls de rencontre de la courbe et de ces droites la dernière proposition du n" 10, oix obtient les théorèmes suivants :

Par chaque génératrice G, on peut mener quatre plans tangents à la surface; des quatre points de contact trois sont sur une même ligne droite D, qui appartient au complexe (Z) et qui engendre une surface du second ordre (A) coupant S suivant une courbe A; le quatrième point de contact décrit une courbe A',

Par chaque génératrice G', on peut mener quatre plans tangents à la surface; un des points de contact est situé sur la courbe A, les trois autres sont sur une ligne droite B' qui engendre la surface du second ordre (A') qui contient la courbe A'.

On déduit de là que la surface développable circonscrite à S et à la surface du second ordre qui contient l'asympto tique Z se décompose en deux surfaces du quatrième ordre touchant S le long des courbes A et A'.

■13. Les beaux théorèmes de Poncelel sur les polygones circonscrits à une conique, landis que leurs sommels décrivent d'autres coniques, conduisent à plusieurs propriétés ialéressantes de la surface S, relativement surtout aux diverses surfaces réglées que l'on peut faire passer par des courbes tracées sur ces surfaces; je reviendrai plus tard sur ce sujet qui, pour être convenablement traité, exige une étude préalable du théorème de Poncelet luimême.

SUR

L'APPLICATION M LA THÉORIE DES FORMES BINAiKES