I. — Considérations préliminaires

1, Bien que les considérations suivantes puissent êlre appliquées à toutes les surfaces algébriques, et en partieulier an plan ('), je ne les développerai, dans ce Mémoire, que relativement aiix courbes que l'on peut tracer snr une surface du second ordre.

Soit S une surface du second ordre, elle possède deux systèmes de génératrices rectilignes; avec M. CWa^^^es^Théorie des courbes tracées sur Vhyperboloîde à une nappe (Comptes rendus, 1861)] j'appellerai directrices les droites de l'un de ces systèmes, en réservant le nom de génératrices aux droites de l'autre système.

Prenons arbitrairement sur S «ne conique K que je désignerai sous le nom de conicjue fondamentale ; cette courbe est unicursale, c'est-à-dire qu'on peut désigner chacun de ses points par la valeur d'un paramètre t et de telle sorte qu'à chaque valeur du paramètre corresponde un point unique de la courbe.

Soit M un point de la .surface S; par ce point passe une directrice de la surface coupant K en un point unique, dont je désignerai le paramètre par x; par ce même point passe une généra-

(' ) Le cas du plan piésente naturellement un très grand intérÉt, mais dem pour l'application de la théorie quelques explications dans lesquelles je n'a

trice de la surface coupant K eu un point unique, dont je désignerai le paramètre par^j^. 11 est cîair, du resLe, que le point M est complètement déterminé et sans ambiguïlé par les deux quantités ^ et j'; je les appellerai les coordonnées du point M,

L'équation d'une conrbe tracée sur S sera de la forme /(:r,^)=o; son degré p, relativement à la variable x, indiquant en combien de points elle est coupée par une génératrice quelconque, et son degré q, relativement à la variable y, indiquant en combien de points elle est coupée par une directrice. {Voy. Chaslks, loc. cit.)

2. On connaît le procédé ingénieux employé par Pliicker pour rendre homogène l'équation f{x, y) ^= o, en remplaçant les variables 3; et ^ par — et —; nous emploierons ici nn procédé analogue en remplaçante par — el^ par — , ■ De cette façon, l'équation d'une coin-be algébrique tracée sur S deviendra

le polynôme F étant iioniogène et dn degré p par rapport aux deux variables x et x\ homogène et du degré q par rapport aux variables y et y'.

3. Cela posé, je rappellerai d'abord ce que l'on nomme émanant d'une forme binaire ow d'un polynôme algébrique homogène à deux indéterminées.

Soit y}{x,x') un tel polynôme; on appelle émanants de ce polynôme les divers polynômes compris dans les expressions suivantes :