IS+^S
i(,-^"rf,. +•»■^,^•+'"<^^'.j•
dont la loi est facile à saisir.
Pour abréger, je désignerai ces émanants par la notation (U)( , (U)2, {U)3î .-■; la parenthèse indiquant un émanant de la
forme U, el l'indice qui lui est adjoinl, le degré do cet émanant par rapport aux lettres y el y' .
Lorsqu'une forme est de degré pair, elle possède un émanant dans lequel les variables x et jr enlrenl au même degré; j'appellerai cet émanant émanant principal de la forme, et je le désignerai par la notation (U), en omettant l'indice adjoint à la parenthèse, lorsque cela ne donnera lieu à aucune ambiguïté.
4, Il résulte de ce qui précède que tout émanant d'it ne formel) se réduit à celte forme lorsque l'on identifie les variables x^ x' et y, y'.
Soit U la forme du degré (p -f- g) à laquelle se réduit le polynôme F(^, x'; y, y') lorsqu'on fait x' --= x et j/ ==>■; l'expression
esl homogène et du degré /> par rapport aux variables x et x' , homogène el du degré q par rapport aux variables j' el^; déplus elle s'annule lorsqu'on fait x-=-x' &\.y=-y', elle est donc divisible par
yx'—xf- 1.), et l'on peut poser
F, désignant un poljnome du degré p — i par rapport aux variables x^ a/, et du degré q — \ par rapport aux variables^, y' .
On peut appliquer au poljnome Fi le même raisonnement et, en continuant de proche en proche, mettre l'équation d'une courbe, tracée sur la surface du second ordre S, sous la forme suivante :
où U, V, W, . . . désignent respectivement des polynômes entiers en X et x', des degrés/) -\- q. p +q ^ i^ /" + î — ''l' ■ ■ ■■
5. En particulier, si l'on a/) =Tr y, l'équation delà courbe pourra se mettre sous la forme
* = (U)-H.o(V) + tuHW)-l-...^o,
OÙ u, V et w désignent respectivement des polynômes entiers
en a: &l x' , des degrés 2/), 2(/> — 1), a(/> — a); et je ferai observer que, dans ce cas, 0 est homogène et du degié p par rapi^ort aux quantiiés x — y, xy et x -^y (').
6. Par la forme précédente que j'ai donnée à l'équaiion d'une courbe algébrique, on voit que celle équation s'obtient en égalanl à zéro un polynôme ^, qui est un covarïanl double des formes U, V, W, ... ; on sait, en effet, que w est un covariant double de looles les formes et qu'nn émanant quelconque d'une forme est un covariant double de celte forme.
Delà résulte que Tétude de cette courbe se rattache intimemeul à l'élude simultanée de ces formes; je ne veux pas dire par là qu'elle s'j réduise, car, pour étudier complètement nue courbe, il est nécessaire de la comparer avec d'autres courbes qui introduisent d'autres formes dans cette étude.
On pourra toujours néanmoins, dans un calcul relatif à un certain nombre de courbes, faire en sorte que l'on n'ait à considérer que des invariants ou des covariants d'un système de formes binaii-es, et profiter de leurs propriétés connues pour en déduire des propriétés géométriques de ce système de courbes, ou pour simplifier les opérations.
S'il s'agit, par exemple, de calculer un covariant simple, i! suffira de calculer son premier terme; s'il s'agit d'un invariani, on pourra le calculer sous sa forme canonique (^).
7. Eclaircissons ceci par un exemple. Je ferai auparavant remarquer que, si O désigne le pôle du plan de la conique fondamentale K par rapport à la surface S, les coordonnées d'un point M de cette surface étant x etjK) les coordonnées du point M' où le rayon OM perce S sont ^ et x. De là résulle que si une courbe peut être placée sur un cône ayant pour sommet le point O, son équation doitètre symétrique en x et^; elle doit être par conséquent de la forme
etne pas contenir les puissances impaires de <.<>.
(') Ici, pour abréger, je fais, comme je le ferai plus conimuiiéiiienl, dans la suite de ce Mémoire, ic' = ^'=r,
(') Vm,r en général, sur cette théorie des formes, ['Algèbre supérieure de Saimon (Paris, Gauthicr-Villars).
En ]iaitic)i!iei', considérons une biqiiadralique gauche iracéc sur S, c'est-à-dire la courbe du quaLvième ordre qui résulte de l'iniersection de S par une surface du second ordre n'ayant avec elle aucune génératrice commune. Comme on peut la placer sur quaire rônes différents, son équation pourra, de quatre fiiçons différentes, se mettre sous la forme
^désignant une constante et U un poljnome du quatrième degré ; si l'on fait
U = <ïa;*-+- 4*^^-1- 6ca;=-H 4 t?a! -H e,
l'équation de la courbe sera pai- conséquent
Pour trouver les génératrices de la surface qui touchent la courbe, il faut chercber pour quelles valeurs de j, x acquiert des racines égales. Ces valeurs seront données par l'équation F(^) = o, où F désigne le discriminant de l'équation précédente pris par rapport à ^; de même, pour une raison de symétrie, les directrices de la surface tangentes à la courbe seront déterminées par l'équation ¥{x) = o.
Quelle est l'équation générale des biquadratiques tangentes à quatre directrices données et pouvant être placées sur un cône dont le sommet est en Of
Il est clair que, pour résoudre cette question, il faut déterminer de la façon la plus générale le polynôme U cl la constante k de telle façon que le discriminant F{x) soit un polynôme donné.
On volt aussi facilement que le problème est identique avec l'intégration de l'équation dillerentielle d'Euler, qui sert de point de départ à la théorie des fonctions elliptiques. En effet, l'équation (i), étant successivement ordonnée suivant les puissances décroissantes de x et de y, peut se mettre sous les deux formes
Ma^=+ aNar-H P = o et M>24- aN'j + V'=o, d'où l'on déduit par la différenliatiou
évidorament
Ma^ + N = i/F^F)
el M>
l'équaLion devient donc
et l'on voit que, pour inléêrei' cette équation, il laut (ce qui est précisément la méthode de Caiichy) déterminer le polynôme U et la constanle k de la façon que j'ai indiquée.
Comme le discriminant F(^) est un covariant de la forme U, il suffît de calculer son premier terme; en ne conservant dans U que les termes du degré le plus élevé en ce, il se réduit à x^(ay'^+ 2b y -\-c + k), d'où l'on voit que le terme de F (a;) du degré le plus élevé en a; est («c — i^)j7' + kax'' ^ |>av suite on a F{û;) = H + AU, H désignant le hessien de U.
8. Supposons maintenant que nous remplacions U paraU+6^H, aetp désignant des quantités numériques indéterminées. Sans faire de nouveau calcul, on sait, par les importantes formules dues à M. Gajlej.qiie H devient (a^S -l-9p*T)U + (a=— 3^^S)H {'), S et T désignant les invariants fondamentaux de la forme U.
Par suite F{a?) devient MU + (a^ — 3|5=S -+- 6Ap)H, M désignant un nombre dont il est inutile d'écrire la valeur.
Pour que le discriminant F(^) prenne donc (à un facteur numérique près) une valeur donnée U, il suffit de choisir la constante Adefaçon que l'équation a^ — 3^^ S -\-6k^^o soit satisfaite. D'où la proposition suivante :
Soit U un polynôme quelconque du quatrième degré; en désignant par H son hessien et par S son invariant quadratique, l'intégrale générale de l'équation
dœ ^ dy l/U(37) i/U(j') est
yGoosle
le rapport «1^ étant la constante arbitraire introduite par l'intégration.
La parenthèse affectée de l'indice a désigne ici l'émanant principal de la forme aU + 6pH.
II. — Équation d'une section plane ; système de coordonnées dans l'espace.
9. L'équation d'une conique tracée sur la surlaceest de la forme
(î) ^(A:»-+B)+(Ba; + C) + K(j-^)=o;
je coQSÎdérei-ai les quantités A, B, G, K., qui entrent dans cette équaliou, comme les coordonnées du point de l'espace dont le plan polaire par rapport à la surface est le plan de la conique.
On pourrait aussi les regarder comme les coordonnées tangentielles de ce plan, et je le ferai quelquefois; mais généralement je les emploierai comme coordonnées ponctuelles.
Cela posé, étant données les équations de deux coniques
et
yiK'-u: -H B') + {B'^ + G) + K'(^ - a.) = o,
on voit, par un calcul facile, que la condition nécessaire et suffisante, pour que le plan d'une de ces coniques contienne le pôle du plan de l'autre, est contenue dans la relation suivante : AC'+CA'— 2BB'4-aKK'=o. Par saiie, l'équation du plan polaire (par rapport à la surface) du point de l'espace dont les coordonnées sont A', B', C, K' est
AC'+ CA'— aBIÏ'-^ aKK' r^ o;
et, cette équation étant linéaire par rapport aus. variables, il en résulte que le système de coordonnées employé est simplement un système particulier de coordonnées tétraédrales.
10. Dans tout ce qui suit, on voit que j'emploierai siniultanément deux systèmes de coordonnées, dont l'un (en x Qly) ne se rapporte qu'aux courbes tracées sur la surface, tandis que l'autre (en A, B, C, K) s'étend à tous les points de l'espace.
33G GÉOMÉrncE.
La même oqualion, suivant que l'on y considérera les /r,y ou les A, B, C, K comme les coordonnées couraïues, présentera un sens difi"<5renl.
11. Cherchons les coordonnées rcclîligncs d'un poiut {x, y) de ta surface. En désignant par X, Y les coordonnées courantes, la conique suivant laquelle la surface est coupée par le plan polaire du point (ici cette conique se réduit à deux droites) a pour équation
(X-^)(Y-:r) = XY-jX-^Y + 3y-o;
si l'on identifie cette équation avec l'équation (2), on en dédull les relations
A Bjj-K B-K C
I ~ —a: ~ ^y ~ xy' d'oïl encore
1 cc + y xy y ~x
(les formules serviront à trouver en coordonnées reclilignes l'équalion d'une courbe donnée en coordonnées de la surface, et je ferai, à ce sujet, celte remarque importante que si, dans un invariant de la forme (A, B, C) et d'nn nombre quelconque d'autres formes, on remplace respectivement A, B, C, K par les valeurs données ci-dessus, le résultat sera un covariant du système
12. En particulier, supposons que l'équation d'une courbe M soit de même degré /) par rapport kx eik y\ on sait que (n" ë), dans ce cas, son équation est homogène par rapport aux quantités X — y^ X -\-y et xy; en remplaçant ces quantités par les expressions données, on obtiendra l'équation d'une surface de degré/?, qui contiendra la courbe et dont cette dernière constituera l'intersection complète avec la surface du second degré fondamentale ( ' ) ; et je ferai observer que cette équation sera un invariant du système de formes qui caractérisent la courbe.
Ainsi, l'équation d'une biquadraiiqne éiani y'^{a3!''--\-ihx-i-o)-i-ty{b3!^ -r-acan-rf) + c>'^-i-5iip-[-e-+-A"(7 — a^)' = o, OQ pourra la mettre sous la forme
d'où l'on déduira, en emplovant le tableau (3), l'équation en coordonnées rectiligoes d'une des surfaces du second degré qui contient la biqnadratique
dCS — 4^iBCh-c(4B2+2AC) — ^rfl3A.-+-eA2H-(l/;K2 = o, ou slm[ilemcnt E+ 2A'K'= o, en désignant par E l'invariant fondamental des formes (A, B, C) et (a, 6, c, </, e)
-^aG'-26BC + c(2B'+ AC) — a<^BA-!--ieA2.
13. Si l'on élimine les variables x el y entre les équations (3), on obtient évidemment l'équation en coordonnées rectilignes de la surface du second degré S. Celle équation est K^ + D = o, en représentant, comme je le ferai consiamiuent dans la suite de ces recherches, par D l'invariant AG — B^ de la forme (A, B, C).
lil. — Recherche de la forme la plus simple que l'on peut donner à l'équation d'une courbe; groupes de courbes.
14. On peut, en faisant varier la conique fondamentale, donner une infinité de formes à l'équation d'une courbe donnée M.
Les formules de transformation peuvent évidemment (sans nuire à leur généralité) être mises sous la forme
X = ^ et Y^f^^l.
TJ -!-°
œ, p, Y et 5 désignant des quantités numériques; en sorte que I'ojj
dispose de trois constantes arbitraires.
La chose la plus importante est d'obtenir une équation de la courbe donnée dans laquelle entre le moins de formes possible,
A ce point de vue, on établit facilement que l'équation des cubiques gauches peut, d'une infinité de façons, être mise sous une forme qui ne contienne qu'une forme binaire cubique; sa forme générale est en effet
{acc^^ ^bx^+ 'iccc + d), + {a'a:-^hy){y-x) = o,
yGoosle
et l'on peut, d'une Infinité de manières, disposer des trois constantes arbitraires en sorte que d et b' s'évanouissent.
L'équation de la biquadraliqiie peut (comme on le sait déjà) être mise, de quatre façons différentes, sons une forme où n'apparail qu'un polynôme du quatrième degré.
L'équation générale de la quarliqne gauche, c'est-â-dirc de la courbe du quatrième ordre par laquelle on ne peut faire passer qn'une surface du second ordre, est
((ix»+4£>j^= + Gca!' + 4(i^ + e),-l-(rt;'a7'+9,i'a^-l-c')(/ — 3:) = o,
et un calcul simple fait voir que l'on peut, d'une sente façon, disposer des constantes arbitraires en sorte que a', b' et é s'évanouissent; on peut donc mettre l'équation de la quarlique (et cela d'une seule manière bien déterminée) sous une forme où n'apparaît qu'une seule forme biquadraiique; ce sera pour nous l'équation réduite de la courbe.
15. Élant donné un système quelconque de formes, je classerai dans un même groupe toutes les courbes dont l'équation ne dépend qne de ces formes et de leurs divers covariants, et je dirai que toutes ces courbes constituent les formes du groupe.
Ainsi, étant donnée une forme biquadratique U, les courbes qui appartiendront à son groupe seront tontes celles dont l'équation renferme seulement la l'orme U elle-même, son hessien H et son covariant du sixième degré J.
Si l'on s'en lient aux courbes dont le degré ne dépasse pas 4, on voit que ce groupe contient seulement des biquadratiques et des quartiques gauches.
Toutes les biquadratiques du groupe forment un système conjugué par rapport à un tétraèdre fixe qui caractérise le groupe; c'est-à-dire que les sommets de ce tétraèdre sont les sommets des quatre cônes qui contiennent chacune de ces courbes. Les quartiques jouissent de propriétés analogues par rapporta ce tétraèdre.
C'est le groupe dont je viens de parler que je veux étudier d'abord dans la suite de ces icchcrchcs.
