THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE ANALÏTIOUE

.Vouirelles Annales de Mathématique.

i . Les coniques, inscrites dans un quadrilatère ^xe, qui louchent une courbe de troisième classe donnée K, sont au nombre de douze. Les douze points de contact, les neuf points Je rebroussement de K et les six sommets du quadrilatère cir~ conscrit sont situés sur une même courbe du cinquième ordre.

En effet, soient {a,b,c,d){\]xy=o, (A., B, C)(),, p.)'=o, (A', JÎ',C')(^[x)'=o

et C' ÎQscritea dans le quadrilatère Q.

I ac ^ b' ad — bc bd — c' 1

{qui est indépendante de >.) représente une courbe du cinijuicinc ordre P (').

L'invariant J s'annule :

I' Pour ac — 6' — (ul — 6c = fiii — c'= o : donc P contient les neuf points de rebroussement de K;

a" Pour a = b = \ -t-\y = B + \V,' = t> : donc P contient les douze points des coniques tangentes ù K et inscrites dans Qi

3° Pour A + XA'=B + XB'=C-f-XC'=o : donc P contient les six somnu'Ls du quadrilatère Q.

2. Étant donnés, sur l'ovale de Cassini dont les foyer ssonl J et g, deux points a et b, désignons par a et ^ les points où les normales en a et b coupent l'axe de la courbe qui renferme les foyers, et par i le point oie cet axe est coupé par la perpendi-

aitalytique {Journal de LLou\'Ule.

culaire élevée sur le milieu du segment ab, démontrer la rela-

i^ U ig if

3, En un point M d'un tore, on mène une droite MT, située dans le plan tangent. Soient a et b les points où cette droite coupe la sur/ace; menons les deux sphères qui, passant par M, touchent la surface aux points a et b; désignons par a ei p les centres de ces sphères et par I le point milieu du segment «p.

Celaposé, si, par le point M, nous menons une droite parallèle à la droite qui joint le point I au centre du tore, dirigée dans le même sens et de longueur double, le point extrême de cette droite est le centre de courbure de la section faite dans le tore par le plan normal passant par MT.