PAR SIX POINTS DONNÉS DE L'ESPACK

iulleciii de la Société mathématique de France; 1S73.

1. Un grand nombre de propriétés intéressantes des surfaces du second ordre (ou quadriques) qui passent par six points donnés de l'espace dépendent de la décomposition d'im polynôme du sixième degré en la somme de qnalre carrés.

Dans cette Noie, je me reslreiûdrai au cas le plus simple où on le met sous la forme d'une somme de trois carrés, ce qui correspond, au point de vue géométrique, à l'élude des cônes du second ordre que l'on peut mener par six points ('),

2. Comme, dans tout ce qui suit, je m'appuie surtout sur quelques propriétés des cubiques gauches, je crois tout d'abord devoir les rappeler brièvement.

Soit a\^ -\-ZbX'^-{''6c'k-{- d=o l'équation d'un plan mobile, î, désignant une variable niimérique arbitraire ; ce plan enveloppe une surface du quatrième ordre, dont l'arête de rebroussement est une cubique gauche R, définie par le syslème d'équalions

(') Voir, à ce sujet : HcKRnoLZEn, ^«r' une surface du quatrième ordre {Math. Ann., t. IV, p. 175).

34ï GÉOMÉTRIE.

à chaque valeur de X correspond un plan osciilaleur de la cubique dont je désignerai le point de contact sous le nom de point (X), en disant que \ esl le paramètre de ce point. On voit facilement, d'ailleurs, que les coordonnées de ce point sont données parles formules

3. L'équation d'un plan quelconque étant nî 36-f-i-3cp — 1^01 = o,

on voit que ce plan cou pela eu bique Ken trois points dont les paramètres sont les racines de l'équallon aX*-t- 3^).^+ SyX + S = o; ces points définissent d'ailleurs complètement le plan, en sorte qu'on peut le considérer comme déterminé par le poljnome du troisième degré qui forme le premier membre de celle équation. Dans ce qui suit, si A représente d'une façon générale l'équation d'un plan, A' désignera le poij'nome qui a pour racines les paramètres des points où ce plan coupe la cubique. Le degré de ce poljnome A' s'abaissera du reste, si le plan passe par le point de la cubique dont le paramètre esl infini; l'équation ni ;= o, par exemple, où m désigne une constante, est l'équation du plan osculateur en ce point.

4. Étant donnés six points dans l'espace, on peut mener par ces six points une infinité de cônes du second ordre dont les sommets sont situés sur une surface du quatrième ordre S. Les différentes génératrices de ces cônes forment un complexe de droites du sixième ordre ; en effet, étant pris arbitrairement un point M de l'espace, pour qu'une droite passant par ce point soit une droite du complexe, il faut et il suffit que l'on puisse construire un cône du second ordre ayant son sommet sur cette droite, et passant par les six points donnés ainsi que par le point M.

Or, d'après un beau Mémoire de M. Hesse (Crelle, t. 49), le lieu des sommets des cônes du second ordre que l'on peut mener par sept points donnés est une courbe gauche du sixième ordre Q ; le cône du complexe, qui est le cône projectif de celte courbe, est donc aussi du sixième ordre.

5. La surface S esl, le lieu des courbes Q. On peut, par les sis points donnés, mener une cubique gauche bien déterminée K; soit V^O l'équation du sisième degré dont les racines sont les paramètres de ces points. Je ferai remarquer que le degré de cette équation peut s'abaisser au cinquième, si le système de coordonnées est tellement choisi que le paramètre d'un des points donnés soit égal à l'infini.

Considérons un des cènes du second ordre que l'on peut mener par les sis points; son équation peut se mettre, d'une infinité de façons, sons la forme AC — B^ = o, oi\ A^: o et C = o désignent les équations de deux plans tangents quelconques à ce cône, et B =; o l'équalion du plan des génératrices de contact. Les paramètres des points de rencontre du cône avec la cubique sont évidemment les racines de l'équation A'C — B'^= o; on doit donc avoir V = B'^ — A'C. Et réciproquement, si l'on met le polynôme du sixième degré V sous la forme précédente, on en déduira l'équation d'un cône du second ordre passant par les sis points.

6. Étant donnée une droite quelconque du complexe, c'està-dire une génératrice d'un cône du second ordre passant par les six points, on peut la déterminer par l'équation A = o du plan tangent au cône le long de cette droite, et par l'équation B ^z o du plan mené par cette droite et par le point de la cubique dont le paramètre est l'infini.

De cette façon, on voit que le polynôme B'sera simplement du second ordre, et l'on devra avoir V = B'^ — A'C. Soient p, q, r les racines de l'équalion A' ^ o ; pour chacune de ces racines, on aura B'=\/V; et, le polynôme B' étant du second degré, on pourra le déterminer par la formule de Lagrangc.

Si l'on pose pour un instant A' =/(À) ^ (X — p)(k — q){X— >•) etB'=..f(ï.),onaura

On déduirait facilement de là les équations A = o et B = o des plans qui déterminent ia droite du complexe, et l'on voit que ses

quatre coordonnées s'exprimeronl au moyen des variables p, q, r; l'élimiaation de ces variables entre les équations qui donnent ces coordonnées fournira l'équation elle-même du complexe,

7. Un plan quelconque est tangent à quatre cônes du complexe. En effet, A = o étant rcquation de ce plan, si l'on pose

A'=(X-p)(>.-y)(X-/-), on voit, par ce qui précède, que les génératrices de contact sont déterminées par l'expression <f(),) = o, expression qui, à cause des doubles signes, est susceptible de quatre valeurs.

Les équations de ces quatre droites (dans le plan donné) sont de la forme H -t- N -4- P = o, M -+- N — P = o, M — N + P = o, M — N — P = o,

M=:o, N = o et P = o étant les équations des côtés du triangle formé par les trois points où le plan donné coupe la cubique gauclie R..

D'où cette c(mclusion :

Un plan pris arbitrairemenl est tangent à quatre cônes du complexe; les génératrices de contact forment un quadrilatère complet; les Crois points de rencontre des diagonales de ce quadrilatère sont les points où le plan coupe la cubique gauche K..

8. Le lien intime qui existe, d'après les considérations précédentes, entre la décomposition en trois carrés d'un polvnome du sixième degré et le problème qui consiste à construire les différents cônes du second degré qui passent par six points donnés de l'espace, nous indique naturellement le rôle que jouent ces cônes dans la théorie des fonctions ultra-elliptiques du premier ordre.

Soit, en effet, AC — B*=o l'équalion d'un de ces cônes; le plan mobile dont l'équation est T ^ Ap^-f- aBp + C ;^ o, p désignant une variable arbitraire, enveloppe ce cône; et les paramètres de ses points de rencontre avec la cubique K. sont donnes par l'équation ([) T' = A'p^+aB'? + C'=.o.

Le plan mobile se déplaçant, si l'on fait varier à la fois p et le

paramèlre X, on aura par la différcnliaLion

ou, comme A'p + B'z= v/B'= — A'C'^ v^V, tion (i),

-— î- tft -+- a /V dp = o

tes cjiie! conques, on clédtiÎL

En désignant para et h deux delà

or -TT- est un poljiiome du second degré en X; par siiUe, d'après lin théorème d'Eulcr bien connu, si l'on fait la somme, pour toutes les racines de l'équation (i), des valeurs que prend alors le second membre de l'équalîon (2), te résultai est identiquement nul. On a donc aussi, quels que soient a et b.

{a-i-bû;)clx

y/Wiw) ' v/V(7)

by) dy {a-\-bz)dz

i points où le plan qui

^, ^ el 5 désignant les paramètres des enveloppe le cône coupe la cubique.

On déduit de là la proposition suivante :

Étant donnés, sui- une cubique gauche, six points dont (es paramètres sont les racines de l'équation du sixième degré V^o, si l'on considère un quelconque des cônes du second ordre qui passent par ces six points et deux des plans tangents à ce cône, en désignant respectivement par x^, y^ ^^ -^o i^s paramètres des points oii le premier de ces plans coupe la cubique, et par Xi , y, et z, les paramètres des points d'intersection relatifs au second plan, on a les deux relations

X /vTa') X, A(j-) J,.