THÉORIE DES FORMES BINAIRES
A LA GÉOMÉTRIE l'LAXE.
Comptes l'endus dus séances de l'Académie des Sciences; 1874.
1. Dans ce Mémoire, je considère, pour simplifier le langage, les figures comme rapportées à un système de coordonnées rectillgnes X Gl y; la variable 3 est toujours supposée égale à l'unité, et je ne l'introduis que quand cela est utile pour la symétrie des formules.
Gela posé, ui =: ux -h vj- -\- wz := o étant l'équation d'une droite, si les coefficients u, c el w sont lies enlre eux par une relation homogène et du degré n, F(«, v, iv) =;; o, la droite enveloppe une courbe de n'*'"" classe K,
Si l'on pose
F(..,-î.,Xj--,j^) = U(X,|i),
l'équation U()>, 1.1) ^ o donne, pour un système de valeurs de x et de y, les coefficients angulaires des diverses tangentes que l'on peut mener de ce point à la courbe. Ou peut la désigner sous le nom à'équalion mixte de la courbe, et, dans un Mémoire ('} antérieur, j'ai déjà exposé les conséquences les plus élémentaires qui résultent de cette notion.
( ') Mémoire de Géoinèirie analyUrjw; {Joiiriud de Mathémaliquei, i" scric,
Mais, pour les développer utilement, plusieurs problèmes doi-* vent être résoUis, et en particulier le suivant : Déterminer les équations mixtes des courbes que l'on obtient en égalant à zéro les divers covariants de F.
Tout d'abord, on aura à considérer les diverses polaires des droites du plan relativement à K, tant à cause de leur simplicité que du rôle principal qu'e[les jouent dans cette théorie, puis la bessienne de K.
En désignant respectivement par W ^ o, Il ^ o et ra = o les équations mixtes de la bessienne, de la première et de la seconde polaire de la droite m =: o, on obtient la relation suivante
I Uu Uiî n, I
Q>nV =r-. I l),2 Mit Hg (').
I lli Hj ra I
Cette forme remarquable du polynôme W est susceptible d'un grand nombre d'applications, et même sans qu'il soit nécessaii-e de déterminer les coefficients de M et de ra. £n particulier, je citerai les deux propositions suivantes, qui jouent un rôle important dans la ibéorie des courbes de troisième et de quatrième
i' Si deux courbes de troisième classe R ei K', ayant respectivement pour équation mixte
(a, b, c, d) { X, 1^)' = o et («', *', o\ d') (X, (xj^ = o, ont les mêmes tangentes de rebroussement, le polynôme ad'~ 3bc'-h 'icb' — da'
est identiquement nul.
2" Étant donnée une courbe de quatrième classe, dont l'équation mixte soit
U =-(«,&,c,d, e)(X, [!)>-= o, désignons par (A., B, C, D, E, F, G) (À, [i.)" le covariant sexiique
(!) Suivant un usage habituel, étant donnée une fonction quelconque Z de \ , , . . „ ' dT „ I (J'Z
et de ;., et de degré n, je pose /,= - gj;- Z.,^ „f^n rfF' ' ' "
yGoosle
de U, et considérons une courbe quelconque de sixième classe tangente aux vingt-quatre tangentes de rebroussement de la première courbe. Véquation mixte de la courbe de sixième classe étant
le polynôme A^+6B/'-!-i5Ge — 2oD</'+ i5Ec'— GFZi'+Gïï' est identiquement nul.
2. 11 est nésnmoirs nécessaire d'obtenir la valeur des coefficients de II; un pourrait les exprimer facilement, mais par de^^ formiiles dénuées de sj'métrje, au moyen des dérivées partielles des coefficients de U.
Il esl préféi'able de suivre «ne autre marche, et, à cet égard, je distinguerai deux cas suivant que la courbe est de classe paire an ou de classe impaire 2/î + i. Dans le premier cas, on considérera n couples de variables r, 1), E', 1)', . . . fonctions de n invariants de U et de leurs dérivées partielles; en représentant par A le discriminant de U, et par V, V, V", ... « de ses covarianls du degré an convenablement cboisis, W sera donné par une expression de la forme
AW = (fVi -+- ijVj) -h (r'v; -i- r, v's) -^. . . .
Si la courbe est de classe {n -|- i), W s'eTfprimera également au moyen de n émanants et du produit d'un contrevariant de F par un de ses covarianls du degié 2n-\- i.
Pour éclaircir ce qui précède, je donne ici les résultats pour les courbes de troisième et de quatrième classe :
i" Soient U = o l'équation mixte d'une courbe de iroisicjne classe; A son discriminant et H son hessîen. Soil de plus S le cayleyen de F (c'est-à-dire le contrevarîanl de F qui, égalé à zéro, représente la cayleyenne de la courbe). En posant
"^ G cly' 6 d^'
An = rUi-HijUî— 2(i)eH.
a" Soient U^o l'équation mîxle d'une courbe de quatrième
APPLICATIO?^ BE LA TIlÉoniK BES
tniIES BINAIRES A LA OÉOMÉTRIE, 875
classe, A son discriminant, H S.
hessien, S soriÎDvariantqiiadra-
liqiTs et T son invariant cubiqi
le.
En posant
^ ^ Tid^"^' '
a, dx 1) = ^ + /ti,
dy dy
' '' dz-^ '' dx '
on aura
iTl = tU,^-i)U.
^(r'H,-Hi)'lU)-
3. Le cajlej'en # d'une courbe de «'^"'^ classe se déduit facilement de la proposition suivante, dans l'énoncé de laquelle j'ai conservé toutes les notations précédentes :
Le résultant de H et du jacobien de U et de 11 est u)-'" "->i0.
En l'appliquant aux courbes de quatrième classe, on obtient cette relation remarquable
i^e=pTU(>r',r) + îH(r',:/),
où p et q désignent des invariants de U de l'oiTlre i8 et dn l'otdre ao, et T l'invariant du troisième ordre.
Une formule de M. Salmon indique que, dans ce cas, !a cajlejenne a 126 points doubles; l'équation précédente montre qu'ils se réduisent à 21 points quadruples. Ces points S jouissent de la propriété que les tangentes, menées de chacun d'eux à la courbe, ont leurs points de contact en ligne droite. On peut remarquer aussi que l'équation U{r', ij') = o représente la courbe du trentesixième ordre, jouissant de la propriété que, des tangentes menées d'un de ses points à la courbe, trois sont en ligne droite {').
(') En général, si la polaire d'une droite se décompose en un point P ci »ine coiii-be ïésiduellc, le point P est vin point 5 ( « — 2 )tuple de la cajlejennc.
Si d'un point {jc, y) on mène des tangentes à !a courbe de quatrième classe K, l'équation de la tangente menée en ee point à la conique qui le contient, ainsi qnc les quatre points de contact, est
celte même équation, si l'on y regarde i, ti, C comme des paramètres arbitraires.
