Si la courbe est de classe impaire, nous choisirons
invariants qui fourniront (h — i) relations linéaires entre les inconnues; une dernière relation linéaire peut être obtenue de la façon suivante. La méthode est évidemment générale, mais je ne l'exposerai que pour le cas d'une courbe de cinquième classe. '
Soient U ^ (a, é, c, d, e,/)-=:o l'équation mixte d'une courbe de cinquième classe et (A, B, C, D) un covariant quelconque du
troisième ordre de U; en désiguanl, pour un instant, par (*o) Po) To' 2fl! ^o) = o l'équation de la polaire de la droite de
id 4e 4S D 3C
en appelant (a, (3, y, S, e) =r o l'équation mixte de la polaire de la droite u =: ux-i- vy ~\- wz = o, on déduira de la formule (S)
4jî 4e 4P 3B A Gc fi^ 6f 3C 3B 4(; 4e 43 D 3C
d'où l'on conclut que V est un contrevariant de la forme fondamentale F (>).
En développant cette égalité, on obtiendra une équation linéaire qui, avec les n — i autres précédemment obtenues, permettra d'exprimer les coefficients de U^.
ÎG. JDes relations établies plus haul, n° 13, on peut déduire une proposition générale, dont se déduisent un grand nombre de propriétés des courbes algébriques.
Soit I un invariant quelconque de U, en sorte que l'on ail les relations
rit
„ril
dl
dl
dl ^ .r,dt ^ , dl ., df
'^"ri^^<"-^>Pri&^^""^'"fri5^---=^~'"'-^"^' Considérons la courbe R' composée de la polaire de la droite
it bien c
iir que ce pro<
édé peut être
é de biei
it >'4) il peut être aussi employé quand n est pair. Cette équation, ainsi que beaucoup tle celles établies dans ec Mémoire, est susceptible de diverses interprétations géométriques; mais leur développement t trop de mon sujet principal.
e: la théorie des tos 11) ^ o el d'un poinl Ç, r,; en posant X = :r — ^ elY ^=:y — ■r\, l'équation mixte de ce point est
J.Y — |iX = o; par suite, l'équation mixte de K.' est
al"-^-i-(n—i)fA"-'-[i.-
OU bien encore
[naY, («-0PY~«X, («- 2)-; Y- aaX, . . .] (î„ [.)"= a.
En reprcsenlant le premier membre de cette équation par («', 6', c', . . .), on l-rouvera, par la valent' de l'invariant,
,rfl^ dl ,dl
da db de ' ' ' '
ou encore, en Ycrtu des relations transcrites ci-dessus,
Posons
on aura
Remarquons niaintenanl que le poids ( de l'invariant 1 est précisément le degré de ce polynôme ta x,y, z; d'après le théorème des fonctions homogènes, on aura donc
l.dl dl ^dl\ . ,, ^
et, pai- suite, si le point ^, t; est sur la droite u = o, /^dl dS ^d'i\ ,
Je ferai remarquer que la quantité entre parenthèses dans le
premier membre de cette équation représenté, quand on l'égale à
zéro, la polaire du point (^, ■/!) relativement à la courbe I ^ o.
17. Le cas particulier le plus intéressant à considérer est celui où, K étant de classe paire, on considère l'invariant quadratique I deU.
En convenant d'appeler faisceaux harmoniques deux faisceauK de n droites, tels qne les équations du deg-ré n qui les déterminent aient leur invariant quadratique nul, on peut énoncer la proposition suivante :
Théorème. — Etant donnée une courbe K de classe 2n, si Von considère la courbe C du degré 2n, dont l' équation s'obtient en égalant à zéro l'invariant quadratique de l'équation mixte de K et le Heu des points d'où l'on voit suivant deux faisceaux harmoniques : i° la polaire d'une droite quelconque D, prise par rapport à K, et un point M de cette droite; 2" la courbe K., ce lieu se compose de la droite D ellemême et de la courbe du (an — 1) ordre qui est la polaire du point M relativement à C,
