REDUCTION EN FRACTION CONTINUE DE C

OU encore

,-r...,g-A'F'<«)rf^.

ar — a

Or la valeur de z ne peut, comme cela résulte de Téquation (i), renfermer d'autre transcendante que la fonction e*^^^*; on a donc, pour toutes les racines de réqualion/«(a:) = o,

Un calcul facile donne

d^où il suit que le polynôme fn {x) satisfait à une équation linéaire et du second ordre de la forme

OÙ Hrt(j:) désigne un polynôme entier en x du degré 2 (m — i). 2. L'équation (3) peut se mettre sous la forme suivante :

On en conclut qu'une seconde solution de cette équation est donnée par la formule

OU, en vertu des relations (i) et (2),

3. C'est sur cette importante propriété que je m'appuierai pour déterminer les coefficients des polynômes ©«(vT) et H;,(a:). A cet effet, je remarque que/««.(j:) satisfait à l'équation

..) ,.r-^(»-0^e;.jx) -|^,n„^

dont une seconde solution est

Formons Inéquation linéaire et du quatrième ordre û:^o, à laquelle satisfait l'expression

la solution la plus générale de cette équation est, en désignant par À, B, C et D quatre constantes arbitraires,

A/«(^)/n-,(2r) -+- B/„(ar) ^n-x{x) e-^^^

En particulier, elle est satisfaite par Texpression

dont il est facile d'obtenir la valeur en se servant d%ine des propriétés les plus élémentaires des fractions continues. Ayant en effet

et

^'"=Mîi-^<^"^*>

fn-\{x)

fn-x{x) Mx) ^ ^'

d'où

M désignant une quantité constante.

4. De là résulte que l'équation Q = o est identiquement satisfaite quand on fait

ce qui ne peut avoir lieu qu'en établissant certaines relations entre les coefficients des polynômes inconnus B;,(ar), H„(j:),

RÉDUCTION KN FRACTION CONTINUE DE C*^'. Sag

Mais, pour obtenir ces relations, il est plus commode de transformer d'abord les équations (3) et (4). A cet effet, je poserai

En faisant, pour abréger, et

[ ar 2 e„i(x) 2 J

ar» 2 c/ar 2 6^-1(3?) iF6«i(ir)

les équations (3) et (4) deviennent respectivement