DE
F (x) DàSIGIlANT UN POLYNOME ENTIER.
Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. VI; i8o...
L'étude du développement en fraction conlinue d'une fonclion d'une variable conduit, dans un très grand nombre de cas, à la considération d'équations diflférentielles linéaires et du second ordre. Elles ont pour solutions les polynômes qui forment les dénominateurs des diverses réduites.
Dans deux Notes précédemment publiées (* ), j'ai déterminé la forme de ces équations ; pour résoudre complètement le problème, il reste à déterminer les coefficients des polynômes qui entrent dans leur expression.
Ce problème présente d'assez grandes difficultés et j'ai essayé de le résoudre dans la Note qui suit; j'y traite seulement le développement de la fonction e^^''\ où F{x) désigne un polynôme entier d'un degré quelconque, et je fais l'application de la théorie générale au cas où F(a:) est du second degré.
1. Soit F {^) un polynôme entier de degré m; posons ffn(^) ety*/,(j:) désignant des polynômes du degré n.
(•) Sur l'approximation des fonctions d'une variable au moyen des fractions rationnelles ( Bulletin de la Société mathématique de France, t. V, p. 78. )
Sur Vapproximation de diverses transcendantes qui renferment comme cas particulier les intégrales hy perelliptiques {Comptes rendus des séances de r Académie des Sciences).
(') Dans tout ce qui suit, je désigne généralement par {x?) une série ordonnée
336 ALGÈBUK.
On en déduit
F{x) = \os^n(x) - log/«(ar) h- (jr»«-^>), puis, en prenant les dérivées des deux membres,
et
B„(:r) désignant un polynôme du degré (m — i), qui généralement ne sera pas divisible par x.
Si, dans cette relation, on considère fn{^) et B«(x) comme connus, on a, pour déterminer On {^)f ^^ne équation linéaire et du premier ordre. En Tintégrant d'abord, en négligeant le second membre, on aura
et z sera, comme on le sait, déterminé par la relation
^■'^ -'=J /Jï^)
En désignant par a, p, . . . les diverses racines de Féquation /fi{x) =. o, posons ridcntilé
fl(x) ' Zà{x-7.)^'^Zàx^a
où p est un polynôme du degré (w — i) en x. On en déduit
—/'-'"--' -2/tÎ^ -2/^
ou encore, en intégrant par parlies le deuxième terme du second membre de la relation précédente,
suivant les puissances croissantes de jc et commençant par un terme en xv, sans avoir épard aux valeurs des coefficients de celle série.
