S'^]Z=2R'YU'-+-2SUY

Si maintenant, entre les équations (8), (10) et (11), nous éliminons les quantités YU' et UY', nous obtiendrons la relation cherchée

z»"— (R-+-S)Z'-(R'4-S')Z iH aS

Z'*- 2(R -f- S)Z'— 2(R'+ S')Z'-+-[(R - S)»— R'- S'JZ 2R' aS'

ou encore, si Ton pose, pour abréger,

R-t-S = G et R — S = K,

(,2) Z''~.^'z'''~2GZ''+^2G-|^-3G')z'-+-^Kî-h^ — G''^Z = o.

6. La relation précédente peut, comme il est facile de le vérifier, se meltre sous la forme suivante :

dx

[gZs- ZZ'h- i Z'A = KZ TkZ dx.

Je remarquerai d'abord que, le premier membre de celte identité étant une fonction rationnelle de x, l'intégrale fKTjdx ne doit renfermer aucune partie transcendante, et de là découlent immédiatement un certain nombre de relations entre les coefficients des polynômes 0„(^*), ll„(.r), ^„,(x) et H„| (x). En

RÉDUCTION EN FRACTION CONTINUE DE e*"'**'. 33 1

second lieu, celte intégrale ne doit renfermer aucune quantité constante; en effet, le produit de cette constante par KZ donnerait une quantité irrationnelle qui ne peut exister dans Texpression

En intégrant la relation (i3), il vient, en désignant par ^ une constante convenablement choisie,

ap + GZ«- ZZ'-f- iZ'«= J (/KZ dx)^, et encore

<,4, '-j^^.^/wt:^!^^,.

Le premier membre de cette identité étant une fonction rationnelle de x, il en résulte que l'expression rationnelle

4P r îZ' Z'«

z^-^^^-^^zî

est un carré parfait.