Posons, pour abréger

T'— [e YX'"- \Y^^^— 3( Y^ V~ X'y")

■^ "~(it~ "" ()(Y\'-XY') ""?•

L'équation (4) deviendra

l Ç2Fn-+-2Ïr,F,,-f-VF„r.:p(YÎ-Xv)'-4-(Y':-\'rj» ^ ^ I -(YS-Xrj(Y''$-X'r.).

Comme dans cette formule Ç et r^ sont arbitraires, elle tient lieu des trois relations suivanles :

F,,== AX«-f-9.BXY -f-CY2= c5Y3-f- Y'2-YY',

^ J .-.2ïï)XY-^ YV-t-XV-^XY',

( F4j= GX»-+-uDXY-t- KY'-r-, ^X2-^-X2- XX" (i).

Ces formules sont une conséquence immédiate de la relation (rî); réciproquement, si, cp désignant une fonction arbitraire de v, on

détermine des fonctions X et Y satisfaisant aux trois relations (6)',

on voit que yt=z '- est une intégrale de l'équation (i).

En faisant, en effet, dans la relation (6),

J = X ri r, r= Y,

il vient