I. CoiXSlDÉRATIOWS PRÉLIMINAIRES

1 . En désignant par y s une quanlitc égale à l'unité et introduite pour rendre les lorinulcs homogènes, soit

un polynôme du quatrième degré en J7, .

Soit, de plus,

une intégrale quelconque de Téquation

X et Y désignant des (onctions de v dont Tune peut être choisie arbitrairement.

lin dénotant par des accents les dérivées prises par rapport à la variable v, cl en faisant, pour abréger,

r = YX -XY.

l'équation précédente devient (■?.) Im\.Y)^-T2.

On a évidemment

r^ YV - \Y :

je poserai, en ou Ire,

'.iijf) CALCUL INTÉGRAL.

en sorte que, des relations précédentes, on déduit

4 X'T'=.Xe-i-X'T, ^ ^ / Y'T'= Ye-.- VT.

En employant une notation bien connue, je poserai

,, I rfîF(X,Y) ,, I ^5F(X,Y) „ I i^/-*F(\, Y).

^''- 7ï ~~d\^ — ' ^^''^V^ d\d\ ' ^''-Ti dT^ '

en vertu de la propriété fondamentale des polynômes homogènes, l'équation (2) pourra se mettre sous la forme

X2Fh-+-2XYF„-+-YïPj5='P.

A cette relation nous pouvons joindre les deux suivantes, que l'on obtient en prenant ses deux premières dérivées par rapport à v :

X'X.F„-+-(XY -f-YX')F„H- Y'Y.F„=:. î^.

(XX'-h 3X'«) FnH-(XY--i- YX'-h GX'Y') F„

TT'-hT*

-T-(YY'-f-"n"*)Fj.= .

En les résolvant par rapport à V ^\, F|2 et Faaj il vient

3T3Fi; = Y«^!^ — 3YY'T«T'-4-(3Y'îTh- Y>e)Tî,

3T3F,ï = — XY^^ -:- -{YX -hXY')T2T' — (3X'Y'T -i- XYH)Ti, 3T3F22=X»— - - 3XX'T*T'-4-(3X'2T-T-X2e)T2.

Multiplions la première de ces équations par 5^, la deuxième par :>. ;ri, la troisième par Tj^, Ç et 't\ désignant des quantités arbitraires, et faisons la somme des résultats obtenus : il viendra

__3T3T'(YJ-Xrj(Y';-X'7,)-i-3T-MY'$-X'Tjî, ou encore, en remplaçant T'(Y'; — X/'^) par sa valeur

H(^^-\r.)-f-TiY''$-X''-v),