Considérons maintenant l'équation différentielle
dj-i dr
(7) -7= = "nr-'^'^^^*
OÙ f(x, y) désigne un polynôme quelconque du quatrième degré en X, la variable j'. étant introduite pour rendre l'expression homogène et étant égale à Funité.
Soit
une intégrale de cette équation, X et Y étant des fonctions entières de x; soit, de plus, rfv la valeur commune des deux membres de l'égalité (7).
Si, en vertu de Tégalilé
on suppose X et Y exprimés on fonction de v, on voit que ces fonctions satisfont au système d'équalions (5) et (6).
Je transformerai ces équations, en supposant que X et Y sont exprimés en fonction dex, A cet effet, en introduisant les dérivées prises par rapport à x, nous aurons, en vertu de la relation (7)'.
dx^^ ^ ' ~dx^ ^ '^ 'X dx dx *
dr^' ^' ->. dx-^ dx^'^ -2 dx dx^- ^-^ •
" r/.r^'^' " dx^-'^ "•' -2 dx dx'
^. d^\ /- ■] ,^ df ^ ^ d\ dJJ^ / .
Kii rrmplarnnt \'. \", \ ;. V. V o\ \"' par ces valeurs dans les
SUR LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. ?ui
équations (5) el (6), il viendra
I \ dx^ dx dx^ dj
L 1 \ dx^ dx'- 1 ^/J
2 dx " dx^l -^
,^. — ^ ^ .^^ ^^^ .■ dx -J j dyj
^^ '^" ~ri\^'^^ Y^'\ '^ Il dx^
\ dx dx
et
(9) . -/^^^'-^'^)Oii-^.^)
Le point important dans la proposition duc à Jacobi consiste en ce que 'f est un polynôme du second degré en x. Pour Fétablir, je remarquerai que la relation précédente a lieu, quelles que soient les quantités ç et r^ ; d'ailleurs, X et Y étant premiers entre eux, on pourra prendre pour Ç et Tj d:*s polynômes entiers, tels que
ÏY-r,X = !.
L'équation (g) montre immédiatement que '^ est aussi un polynôme entier, el la formule (S), que ce polynôme est du second degré.
m. — Transformation des formules de Jacobi.
4. Pour transformer les relations précédemment obtenues, je remarquerai que, si a, ^, y et o sont des constantes arbitraires reliées par la relation
(lo) ao - Py = ''
l'équation (g) doit encore être idenliquemcnl satisfaite, pour une détermination convenable du polynôme cp, par les polynômes que Ton obtient en remplaçant, dans X, Y, F et/, j- par ajro-4-y)'o et j^ par [Îj^o-K ^.Ko^ pourvu qu'on rétablisse l'homogénéité de la formule, en multipliant le premier membre par ^'j.
Désignons, en p^énéral, par (W) ce que devient une fonction
4oo CALCUL INTEGRAL.
quelconque W de x et de y^ quand on y cffeclue la substîtulion indiquée; il est clair que Ton aura
1 1 • 1 I • ^à{\) dyçi) d{f)
et des relations analos:ues relativement a -j — -y -— — - et —J~'
^ axQ oxq dxQ
Imaginons maintenant que, celte substitution effectuée dans la
relation (g), on remplace de nouveau oiXo-i-yy^ par j? et ^Xo-h Svo
par j^; on a alors, en vertu de l'équation (lo),
'^ se change en un polynôme <& homogène et du second degré par rapport à x ely, homogène et du second degré par rapport à a
et '='
Si, déplus, on pose, pour abréger,
a.r ri y
^dj-dy ^ dy-
l'équation (()) deviendra
cqualionqui doitèlre identiquement satisfaite, quels que soient a,
'j, ; cl Y,, si x, ~, -. est une intégrale rationnelle de l'équation dif-
