III. Je reprends l'équation du second degré

et je la généralise de la manière suivante :

en désignant par a, p, y, 5 des constantes dont la dernière devra être positive, afin que le premier membre soit négatif pour X = :r. Cela étant, je cherche sous quelles conditions il sera positif lorsqu'on remplace X par l'une quelconque des racines de l'équation /(^) = o, ou bien en faisant comme plus haut X = «. On est ainsi conduit, si l'on conserve les notations précédemment employées, à la forme quadratique

a(A«H-V-h2AU-i-2W) — 2p(AU-T-W)-4-2Y(A'-+- AU) — 8Aî = (a-+-2Y — 0) A*-h2(a — [i-+-Y)AU -f- a V -^ «^.(a — P)\V,

représentant le résultat de la substitution, qui devra être définie et positive. Un cas facile s'offre si l'on aa — p-hy = o; il suffira alors de poser a+ay — o >> o et d'exprimer que la forme à n — I indéterminée aVH-i>.(a — ?)W est elle-même définie et positive. Les conditions à remplir sont alors que a et la suite des

CHARLES HKintlTE.

délcrminanls

a-fi

soient tous positifs. Au moyen des transformations élémcnlaircs on trouve facilement les expressions explicites de ces délerniinants, et l'on obtient les inégalités

a>o, [i(->.a— 3):r o, pî(3a - 5t?) > o, ..., p/i-i |( „ , ) 2 ( n - •>.) ^3] > o.

On en conclut que a et ^ doivent être positifs et assujettis à cette seule et unique condition

c'est-à-dire

Nous voyons ainsi que, dans la méthode d'approximation de Laguerre, l'équation dont il fait usage,

peut être remplacée par cette autre,

a, ^ et o étant des quantités positives, telles qu'on ait

ou encore o -^ a ci — a, puisqu'on a supposé a — ^ -f- v = o.

Voici maintenant quelques remarques au sujet de cette équation.

Je forai d'abord, alîn de la réduire à sa forme la plus simple, la supposition de v = o, qui donne a= 3; on aura aussi la condition 0 ^ a: cola étant, nous trouvons la formule suivante :

t'.'ost prvcisonu'iit. pour le cas limite Je o = a, lo résultat

SUR UN MEMOIUK DE LAftUKÎlUE. 4^7

rcmarf|U(; par Lagucrre au début de son Mémoire, et qui a été le point de départ de tout son travail.

Proposons-nous ensuite cette question, qui se présente d'ellemême, de disposer de a et j3, en supposant, comme on le peut, 0 = 1, de manière que les quantités X' et X'' approchent, autant que possible, des deux racines consécutives a et 6 de Téquation proposée f[x)-=o. On y parviendra évidemment en rendant maximum la différence

lorsque a et p prennent toutes les valeurs positives sous les conditions

Il convient, pour traiter la question, de représenter géométriquement ces conditions en considérant a et p comme l'abscisse et l'ordonnée x Giy d'un point rapporté à des coordonnées rectangulaires. Cela étant, je construis les droites

qui se coupent en un point ayant pour coordonnées

Soit A ce point, AM et AN les portions indéfinies des deux lignes, dirigées dans le sens des abscisses positives; on voit facilement que l'on doit considérer tous les points renfermés dans l'angle MAN, dont les coordonnées sont positives et vérifient les égalités proposées.

Soit, maintenant,

m étant une constante que nous ferons varier afin d'en obtenir le maximum. Pour chaque valeur de /w, on obtient une hyperbole dont l'équation peut s'écrire de la manière suivante, si l'on pose

fr r-

/n'^ix — ay)'^-^ (x — y)^ — x -H a y = o.

Je remarquerai maintenant que nos deux droites sont des

sécantes réelles : la première, comme passant par l'origine, qui est UD point de la courbe; la seconde, parce qne l'équation qui détermine les ordonnées des points de rencontre, où je fais, pour abrtîgcr, b =^ a — 2,

a pour discriminant la quantité positive

Ceci po^é, considérons ta suite des hyperboles qu'on obtient en faisSit varier m. Le maximum de cette constante correspondra à une valeur telle qu'un cbangcmcnl infiniment petit donne une courbe extérieure à l'angle MAN, et cette circonstance ne peut se produire qu'à l'égard d'une hjperbole tangente à l'un des côtés de l'angle ou passant par sun sommet. Or la droite j' = ( , ) ^ ne peut avoir pour point de contact que l'origine des coordonnées, et ce point ne se trouve pas sur AM. Quant à l'autre côté, l'équalion en y, que nous venons de former, montre qu'il ne peut devenir tangent à l'hyperbole, puisqu'il est impossible que le discriminant de l'équation s'annule. La valeur de m s'obtiendra donc en admettant que la courbe passe par le point A, et les valeurs cherchées de a et ^ seront les coordonnées de ce point, à savoir

Nous sommes ainsi conduit à l'équation

par des considérations entièrement différentes de celles de Lagucrre, ce qui donne une confirmation complète du beau résultat découvert par l'éminent géomètre.