SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. III

des lacunes, on peut, comme on le sait, en déduire aisément une limite supérieure du nombre des racines réelles de l'équation.

Cette conséquence immédiate de la règle des signes de Descartes a de nombreuses applications; en voici quelques-unes très simples qui présentent quelque intérêt.

Soity(j:)=o une équation algébrique du degré n et a^ant

toutes ses racines réelles; développons -j- — : suivant les puissances

croissantes de x. Soient F( j:) la série que Ton obtient ainsi et ^{x) l'ensemble des termes de cette série dont le degré ne dépasse pas m.

Par définition, le polynôme ^{x) du degré m est tel que le développement de la différence -j — - — ^{x), suivant les puissances

croissantes de x, commence par un terme d'un ordre supérieur à /w ; on en déduit facilement l'égalité suivante

où P désigne un polynôme et p un nombre entier supérieur à m, d'où encore

f{x)^{x)=z l — XP\\

Considérons maintenant Téquation

f{x)^(^x)=o, que l'on peut écrire

Celle équation présentant une lacune de (/? — i) termes entre le premier et le second terme, le nombre de ses racines imaginaires est au moins égal à (/? — 2), et par conséquent au moins égal à (m — i)^ puisque /> est plus grand que m. Ces racines appartiennent toutes aux deux équations /(x)= o et<I>(j:)= o; la première ad ailleurs toutes ses racines réelles et la seconde est du degré m, doù il suit que^ ayant au moins {m — i) racines imaginaires, elle ne peut avoir qu'une seule racine réelle, ce qui aura lieu si elle est de degré impair.

Les considérations qui précèdent s'appliquent au développement de l'expression y où q désig^ne un nombre entier posi-

tif quelconque ei /(jr) un polvnôme decoinposable en facteurs réels du premier degré.

Désignons par *(x) l'ensemble des termes de ce développement donl le degré De dépasse pas m; le premier terme de la série

étant d'un ordre supérieur à m, on en conclut aisément l'égalité

i=/(a:)*î(x)+arpP,

OÙ P désigne un polynôme et p un nombre entier supérieur à ni. Celle égalité peut s'écrire

I — 3^pp=/(a-)*ï(3r),

et l'on en conclut, comme précédemment, que l'équation

a au moins (m — i) racines imaginaires; ces racines ne pouvant appartenir qu'à l'équation *(x)^o, celle-ci, qui est du degré m, a au plus une racine réelle.

J'aurais pu considérer l'expression ■ ^, , oiï r et c^r désignent

dcu\ nombres entiers positifs quelconques, puisque, s\/{x) est décomposable en facteurs réels du premier degré, il en est de même de/''{x), et de là, en passant au cas où la fraction - tend vers un nombre incommensurable quelconque, j'énoncerai la proposition suivante :

En désignant par w une quantité positive quelconque (commensurable ou incommensurable), si l'on développe -yj- — suivant les puissances croissantes de x et sil'on désigne par^(x) l'ensemble des termes de ce développement dont le degré ne dépasse pas m, quel que soit le nombre m, l'équation ♦(a:) == o a au plus unf racine réelle.

SUR (Jl'ELQrES rnOPRMiTÉS DES EQIATIONS ALGEBRIQUES. I l3

*^- Oomme application, je poserai

on voit, par ce qui précède, qu'en désignant par ^(j?) l'ensemble d^s termes du degré m dans le développement de (i ) , l'équation 4>(x)=o a au plus une racine réelle, quel que soit le nombre positif/?. Si, maintenant, on fait croître indéfiniment/?,

1 expression ( i J a pour limite e^.

D'où la proposition suivante :

Si Von égale à zéro V ensemble des m premiers termes de la ^^f^ie suivant laquelle se développe e^^ V équation ainsi obtenue ^ «« plus une racine réelle.

Cette proposition peut, du reste, se démontrer très aisément

^n s'appuyant sur le théorème de Rolle {voir notamment le Cours

^ analyse de l'École Polytechnique de M. Hermite, année

'o6^i8(J8^- mais il résulte, en outre, du théorème démontré

P'"s haut, que, si f{x) est un polynôme décomposaljle en fac-

teut*5 réels du premier degré, le développement de l'expression

JO'^îlde la même propriété, quel que soit le nombre positif co.

^- Les considérations qui précèdent s'appliquent entièrement à "^ Cîas plus général et plus important; mais, avant de l'aborder, je crois devoir rappeler quelques définitions.

En désignant par y{x) un polynôme entier en x ou une série

oï^donnée suivant les puissances croissantes de x^ et par ^ — r

^^e fraction rationnelle dont le dénominateur est du degré n et le numérateur du degré m, on dit que cette fraction est une réduite ^c \{x) si le développement en série de la différence

¥{x) commence par un terme de l'ordre de x'""*""'*'*.

Il'l ALGÈBRE.

Il est facile d'obtenir ces réduites; multiplions, en effet, V {jl j par un polynôme F(j:) du degré n et renfermant, par suite, (/i-hi) indéterminées. En développant le produit ainsi obtenu, nous obtiendrons d'abord un polynôme du degré m, ^(^), puis une série de termes contenant ^"* en facteurs, et nous pourrons disposer des (/i -h i) coefficients indéterminés de façon à annuler, dans le développement, les coefficients de x'"'^*^ x"*"^^, . . ., x"''^") il suffira, en effet, pour cela, de trouver des valeurs de (n-f-i) inconnues satisfaisant à n équations linéaires sans second membre, et Ton sait qu'un pareil système d'équations admet toujours au moins une solution dans laquelle les inconnues ne s'ont pas toutes nulles en même temps. Les polynômes F(x) et ^(x) étant déterminés comme je viens de le dire, il est clair que la fraction -,; !

est une réduite de F{x),

Cela poséj /(x) désignant un polynôme décomposable en fac-

• teurs réels du premier degré, soit ~ — - une réduite de f{x)^ en

sorte que, ^{x) étant du degré m et F(j:) du degré /r, le développement de

commence par un terme de Tordre (m -|- /i 4- i).

On aura évidemment, en désignant par P un polynôme entier,

F{x)/(x) — *(a7)= ar'«+«-»-» P, d'où

4>(j7)-har'«+«+»P = F{x)f{T),

Or, le terme du degré le plus élevé dans <lf(x) étant du degré m, on voit que Féquation

a au moins (n — i) racines imaginaires, et, comme ces racines appartiennent à l'équation F(x)/(x)= o et que /{x)= osl toutes ses racines réelles, on en conclut que l'équation F(j:)= o, qui est du degré n, a au plus une racine réelle.

On obtiendrait un résultat analogue en considérant les réduites

SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. IlS

*i^^du développement de la fraction -r^ — > et Ton établirait faci-

lementque l'équation ^(x)= o a au plus une racine réelle.

En particulier, posons d'abord, en désignant par/> un nombre entier arbitraire,

Si nous faisons croître indéGniment le nombre entier />, nous en conclurons que les dénominateurs des réduites de e^ ont au plus un facteur réel du premier degré; nous voyons, en outre, que la même proposition a lieu à l'égard des réduites de l'expression ^^(j:), où ^{x) désigne un polynôme décomposable en facteurs réels du premier degré.

Semblablemcnt, en posant

et en faisant croître indéfiniment le nombre entier p^ nous voyons que les numérateurs des réduites de e^ ont au plus un facteur réel du premier degré, et la même proposition a lieu à l'égard des nu-

mérateurs des réduites de l'expression — — :> où 'f (x) désigne,

comme ci-dessus, un polynôme quelconque décomposable en facteurs réels du premier degré.

'. Comme je viens de le montrer, si l'on considère une réduite quelconque =7^ — - de la transcendante e^, les équations ^(:c)= o et

F(j:)=o ont au plus une racine réelle.

Il ne sera peut-être pas inutile de montrer comment on peut facilement former les polynômes ¥{x) ei <l>{x),

^ cet effet, je considérerai l'expression ¥(^x)e^^ et poserai

Le polynôme F{x) étant du degré n, je remarque tout d'abord V^^ ^nLytf qui est du degré (m 4-/?), est divisible par 5". En dérivant par rapport à 2 l'équation précédente, on a d'ailleurs

d'où

«^ .\ M jC^ Art .'\ /l •« ' t

el l'on en conclut que cliacun des coefficients A^ est U dérivée par rapport à 3 du coefficient qui le suit dans la série.

Je remarque maintenant que, F{x) étant le dénominateur d'une réduite de e^, le développement de F(x)e* manque des termes en x""*' , jr^+^j . . . , x"'*'" ; tous les coefficients

s'annulent donc quand on y fait z^=i. Par suite, A„^.„, ainM que ses (n — i) premières dérivées, s'annule dans la même hypothèse; A,„^„csl donc divisible par(^ — i)". J'ai montré plus haut que ce coefficient était du degré (m +n) par rapport à la lettre z el qu'il était divisible par z'"', il est donc égal, à un facteur numérîqne près (que l'on peut prendre arbitrairement), à s"* (s — i)". Ainsi, une propriété caractéristique du polynôme F{j:) est que, dans le développement de F(x)ti" suivant les puissances croissantes de X, le coefficient de :c"''*'"est (sauf un facteur numérique)

En supposant donc ce facteur égal à — r — — el en posant

F{x)= (lo + a, a: -(-o,j-> -!-...,

on obtiendra facilement l'égalité

d'oii l'on déduit